麥克斯威爾方程

麥克斯韋方程組（英語：Maxwell's equations）是一組描述電場、磁場與電荷密度、電流密度之間關係的偏微分方程[注 1]。該方程組由四個方程組成，分別是描述電荷如何產生電場的高斯定律、表明磁單極子不存在的高斯磁定律、解釋時變磁場如何產生電場的法拉第感應定律，以及說明電流和時變電場怎樣產生磁場的麥克斯韋-安培定律。麥克斯韋方程組是因英國物理學家詹姆斯·麥克斯韋而命名。麥克斯韋在19世紀60年代構想出這方程組的早期形式。

基本介紹

• 中文名：麥克斯威爾方程

麥克斯韋方程（英語：Maxwell's equations）是一組描述電場、磁場與電荷密度、電流密度之間關係的偏微分方程。該方程組由四個方程組成，分別是描述電荷如何產生電場的高斯定律、表明磁單極子不存在的高斯磁定律、解釋時變磁場如何產生電場的法拉第感應定律，以及說明電流和時變電場怎樣產生磁場的麥克斯韋-安培定律。麥克斯韋方程組是因英國物理學家詹姆斯·麥克斯韋而命名。麥克斯韋在19世紀60年代構想出這方程組的早期形式。

在不同的領域會使用到不同形式的麥克斯韋方程組。例如，在高能物理學與引力物理學裡，通常會用到時空表述的麥克斯韋方程組版本。這種表述建立於結合時間與空間在一起的愛因斯坦時空概念，而不是三維空間與第四維時間各自獨立展現的牛頓絕對時空概念。愛因斯坦的時空表述明顯地符合狹義相對論與廣義相對論。在量子力學里，基於電勢與磁勢的麥克斯韋方程組版本比較獲人們青睞。

自從20世紀中期以來，物理學者已明白麥克斯韋方程組不是精確規律，精確的描述需要藉助更能顯示背後物理基礎的量子電動力學理論，而麥克斯韋方程組只是它的一種經典場論近似。儘管如此，對於大多數日常生活中涉及的案例，通過麥克斯韋方程組計算獲得的解答跟精確解答的分歧甚為微小。而對於非經典光、雙光子散射、量子光學與許多其它與光子或虛光子相關的現象，麥克斯韋方程組不能給出接近實際情況的解答。

從麥克斯韋方程組，可以推論出光波是電磁波。麥克斯韋方程組和洛倫茲力方程是經典電磁學的基礎方程。得益於這一組基礎方程以及相關理論，許多現代的電力科技與電子科技得以被發明並快速發展。

概論

麥克斯韋方程組是由四個一階線性偏微分方程共同組成。雖然一階與線性都是良好的數學性質，除了具有高度對稱性的案例以外，通常找不到它的解析解，因此必須使用數值方法來找到它的數值解。但由於電動力學是一種線性理論，可以利用疊加原理來求解。

高斯定律

高斯定律描述電場是怎樣由電荷生成。電場線開始於正電荷，終止於負電荷。從估算穿過某給定閉曲面的電場線數量，即電通量，可以得知包含在這閉曲面內的總電荷。更詳細地說，該定律描述穿過任意閉曲面的電通量與這閉曲面內的電荷數量之間的關係。

高斯磁定律

高斯磁定律表明，磁單極子（磁荷）並不存在於宇宙。在實驗方面，物理學者迄今仍尚未發現磁單極子存在的明確證據。由物質產生的磁場是被一種稱為偶極子的位形所生成。磁偶極子最好是用電流迴路來表示。磁偶極子好似不可分割地被束縛在一起的正磁荷和負磁荷，其淨磁荷為零。磁場線沒有初始點，也沒有終止點。磁場線會形成循環或延伸至無窮遠。換句話說，進入任何區域的磁場線，也必須從那區域離開。以術語來說，通過任意閉曲面的磁通量等於零，磁場是一個螺線矢量場。

法拉第感應定律

法拉第感應定律描述隨時間變化的磁場怎樣生成（感應出）電場。電磁感應是許多發電機的運作原理。例如，一塊旋轉的條形磁鐵會產生時變磁場，這又會生成電場，使得鄰近的閉循環因而感應出電流。

方程組匯覽

這裡展示出麥克斯韋方程組的兩種等價表述：微觀表述與巨觀表述。

微觀表述專門計算在真空里原子尺度的有限源電荷與有限源電流所產生的電場與磁場。物質可以視為由點電子與點原子核所組成，而內部其它大部分空間都是真空。但是，由於電子與原子核的數量很大，實際而言，無法一一納入計算。事實上，經典電磁學也不需要過度精確的答案。使用微觀麥克斯韋方程組有兩個主要目的，一是推導出巨觀麥克斯韋方程組，二是從原子性質估算出巨觀物質參數，例如電容率、磁導率等等。微觀表述可以給出很多巨觀表述所無法給出的極具價值的信息。

巨觀表述不將物質內部的原子結構納入考量，而是將物質視為一種連續性介質，其性質決定於電容率、磁導率等等巨觀物質參數。從做實驗可以獲得巨觀物質參數與物質的本質、密度、溫度等等的關係。巨觀麥克斯韋方程組可以用來預測帶電粒子、電場與磁場的平均性質。採用這種表述會使得在介電質或磁化物質內各種物理計算更加簡易。

採用不同的單位制，麥克斯韋方程組的形式會稍微有所改變，大致形式仍舊相同，只是不同的常數會出現在方程內部不同位置。國際單位制(SI)是最常使用的單位制，在工程學、化學領域大多都採用這種單位制，大學物理教科書也幾乎都使用這種單位制。其它常用的單位制有高斯單位制、洛倫茲-亥維賽單位制和普朗克單位制。由厘米-克-秒制衍生的高斯單位制，比較適合於教學用途，能夠使得方程看起來更簡單、更易懂。稍後會詳細闡述高斯單位制。洛倫茲-亥維賽單位制也是衍生於厘米-克-秒制，主要用於粒子物理學。普朗克單位制是一種自然單位制，其單位都是根據大自然的性質定義，不是由人為設定。普朗克單位制是研究理論物理學非常有用的工具，能夠在理論論述里給出很大的啟示。

在本條目里，除非特別指出，所有方程都採用國際單位制。

數學性質

麥克斯韋方程組形似超定組：它只涉及到六個未知量（矢量電場、磁場各擁有三個未知量，電流與電荷不是未知量，而是自由設定並符合電荷守恆的物理量），但卻是由八個方程所組成（兩個高斯定律共有兩個方程，法拉第定律與麥克斯韋-安培定律各有三個方程）。經過仔細分析，即可明白，實際上並不是這么簡單。

麥克斯韋方程組的方程具有“獨立性”──從方程組內的任何一個或多個方程，都不能推導出方程組內的任何其它方程。這意味著麥克斯韋方程組不是超定組，其內中沒有重複任何功能的方程。麥克斯韋方程組、洛侖茲力方程與牛頓第二運動定律總合起來具有“完備性”，他們可以說明所有經典電動力學的現象，不需要使用到任何其它方程。在某區域內，給定適當的初始條件與邊界條件，則麥克斯韋方程組的解答具有“唯一性”，即每一個應變數只能有一種函式形式，其內部只含有常數或自變數，不含有任何其它應變數。

法拉第定律與麥克斯韋-安培定律共同主導著在空間內電磁場隨著時間流易的演化，而高斯定律與高斯磁定律則是約束方程，電磁場必須在所有時間與空間遵守這兩個約束方程。理論而言，可以假設某種電磁場在所有空間服從法拉第定律與麥克斯韋-安培定律的指揮，反之，如果他們不遵守高斯定律與高斯磁定律的約束，則它們無法實際存在於真實世界。換句話說，法拉第定律與麥克斯韋-安培定律會給出額外的解答，其不符合高斯定律與高斯磁定律的約束。