鮑默特-霍爾表

鮑默特-霍爾表(Baumert-Hall array)亦稱鮑默特-霍爾陣列、Baumert-Hall陣列，是阿達馬矩陣的推廣，因遞推構造阿達馬矩陣而提出，若元素為未定元±A，±B，±C，±D的4t階矩陣的每一行及每一列含每個未定元X(包括-X)各t次，並且把A，B，C，D看做可換環中元素時每兩行都是正交的，則稱該矩陣為t階鮑默特-霍爾表，記為BH[4t]，若存在t階的鮑默特-霍爾表BH[4t]，且存在m階的威廉森型矩陣，則存在4mt階的H矩陣.該H矩陣可將BH[4t]中的未定元A，B，C，D換作4個威廉森型矩陣而得到，若取A=B=C=D=1，則從一個BH[4t]得到一個4t階的H矩陣，當t=1+2a10b26c，a，b，c為非負整數時，存在BH[4t]，當t為不大於33的奇數或其他一些奇數時，也存在BH[4t]。

基本介紹

• 中文名：鮑默特-霍爾表
• 外文名：Baumert-Hall array
• 別稱：Baumert-Hall陣列
• 所屬學科：數學
• 所屬問題：組合數學（組合設計理論）
• 簡介：阿達馬矩陣的推廣

基本介紹

定義1設為正整數,為t個互相交換的變元,X為元素取自集合的n×n矩陣,若

則稱X為一個()-型n階正交設計(orthogonal design)。記作OD(n；)。當t=4，且時，OD(4s；)叫做s階鮑默特-霍爾(Baumert-Hall)陣列或鮑默特-霍爾(Baumert-Hall)表。1階Baumert-Hall陣列OD(4；1，1，1，1)也叫做Williamson陣列。

鮑默特-霍爾表的構作方法

下面說明Baumert-Hall陣列的構作方法，為此先引入T-序列與循環T-矩陣的概念。

T-序列設

是長為n的(0,±1)-序列，若

(i)對1≤j≤n，恰有一個為±1,其餘3個均為0，

(ii)對1≤j≤n-1,恆有

則稱是一組不相交T-序列。簡稱T-序列(T-sequence)。

循環T-矩陣對上述T-序列，設1≤i≤4，令X_i表示以A_i為第一行而生成的n階循環矩陣，則稱為一組n階不相交循環T-矩陣，簡稱循環T-矩陣。

引理1設為n階循環T-矩陣。則

(i)1≤i,j≤4,i≠j,則X_i與X_j不相交,即

(ii)是一個(1,-1)-矩陣；

(iii)

(iv)對1≤i≤4,X_i的各行和都相等,設X_i的行和為n_i,則

下述定理給出構作Baumert-Hall陣列的一個強有力方法。

定理1(Cooper，J.Wallis) 設為n階循環T-矩陣，a，b，c，d為交換變元，令

再設R為下述n×n矩陣：

式（7）

將式(6)與式(7)代入下述Goethal-Seidel陣列

則得到一個OD(4n；n，n，n，n)。

式（8）

在上述定理中，若取a=b=c=d=1，則得到一個4n階H-陣，於是得到下述結果。

定理2若存在一組長為n的T-序列。則存在4n階H-陣。

定理3若4n≤200，則4n階H-陣存在。