高階弗雷歇導運算元

高階弗雷歇導運算元亦稱高階強導運算元，簡稱高階F導運算元或高階導運算元，是F導運算元概念的高階推廣形式。

基本介紹

• 中文名：高階弗雷歇導運算元
• 外文名：higher Frechet derivative
• 適用範圍：數理科學

簡介

高階弗雷歇導運算元亦稱高階強導運算元，簡稱高階F導運算元或高階導運算元，是F導運算元概念的高階推廣形式。

二階F導運算元

設X,Y為賦范線性空間，Ω是X中的開集，f:Ω→Y，x₀∈Ω。若f在Ω上F可微，則有f的F導映射f':Ω→𝓑(X→Y)，其中𝓑(X→Y)表示由從X到Y的全體有界線性運算元組成的賦運算元範數的賦范線性空間。

若映射f'在x₀為F可微，則稱f在x₀二階F可微，這時f'在x₀的F導運算元記為f''(x₀)(或df(x₀))，稱為f在x₀的二階F導運算元。

定義

用歸納法可定義f在x₀的n階F導運算元f(x₀)(或df(x₀))。

性質

f在x₀有n階F導運算元f(x₀)等價於f在x₀有n階F微分，且此時成立

巴拿赫空間中映射的n階F導運算元作為n線性運算元必是對稱的。

弗雷歇導運算元

設X,Y為賦范線性空間，Ω是X中的開集，f:Ω→Y是映射，x₀∈Ω。若存在有界線性運算元A:X→Y，使得f(x₀+h)-f(x₀)-Ah=o(||h||)，其中o(||h||)/||h||→0(當||h||→0)，則稱 f 在x₀弗雷歇可微（簡稱F可微）或強可微，A稱為f在x₀的弗雷歇導運算元（簡稱F導運算元）或強導運算元，記為df(x₀)或f'(x₀)。