高階加托導運算元

高階加托導運算元亦稱高階G導運算元或高階弱導運算元，是G導運算元概念的高階推廣形式。

基本介紹

• 中文名：高階加托導運算元
• 外文名：higher Gateaux derivative
• 適用範圍：數理科學

簡介

高階加托微分

高階加托微分亦稱高階 G 微分或高階弱微分，是 G 微分概念的高階推廣形式。

設 X，Y為賦范線性空間，Ω是 X中的開集，f:Ω→Y是映射，。若f 在Ω中每點 G 可微，則，在有 G 微分。這時若映射在x₀為G可微，則稱f 在x₀為二階G可微，映射在x₀沿方向的G微分記為，稱為 f 在x₀點二階G微分。

歸納地，若f在Ω中每點有n 階G微分在點x₀為 G 可微，則稱 f 在x₀為n+1階 G 可微，這時映射在x₀沿h_n+1點微分，記為，稱為 f 在x₀的n+1階G微分。

定義

如果對每個變元分別是線性的，則稱 f 是x₀有n階線性微分，這時確定一n線性運算元，記為，即有

稱為 f 在x₀點n階加托導運算元或n階G導運算元或n階弱導運算元。

若還是有界的，則稱 f 在x₀有有界n階線性G微分。

加托導運算元

若f在x₀加托可微，且Df(x₀;h)關於h∈X是線性的，則稱f在x₀有線性弱微分，此時存在線性運算元A:X→Y，使得Df(x₀;h)=Ah(∀h∈X)，這個線性運算元A常記為Df(x₀)（或df(x₀)，或f'(x₀)），稱為f在x₀的加托導運算元（簡稱G導運算元）或弱導運算元。