基本介紹
- 中文名：驢橋定理
- 外文名：bridge of asses
- 別稱：等腰三角形定理
- 內容：等腰三角形二腰對應的二底角相等
歷史由來,內容,證明,歐幾里得的證明,其他證明方式,
歷史由來
有關其名稱驢橋定理的由來有二種：一種是幾何原本中的示意圖即為一座橋，另外一種比較廣為大家接受，是指這是幾何原本中第一個對於讀者智力的測試，並且做為往後續更困難命題的橋樑。幾何學是列在中世紀四術之中，驢橋定理是在幾何原本的前面出現的較困難命題，是數學能力的一個門檻，也稱之為“笨蛋的難關（Asses' Bridge）”，無法理解此一命題的人可能也無法處理後面更難的命題。照原文直譯，就是“驢橋”，因此，我國也有將此命題譯作“驢橋定理”。
無論其名稱的由來為何，驢橋定理一詞也變成是一種隱喻，是指對能力或了解程度的關鍵測試，可以將了解及不了解的人區分開來。
內容
命題1：以已知線段為邊，求作一等邊三角形。
命題2：求以已知點為端點，作一線段與已知線段相等。
命題3：已知大小兩線段，求在大線段上截取一線段與小線段相等。
命題4：兩三角形的兩邊及其夾角對應相等，則這兩個三角形全等。
命題5：等腰三角形兩底角相等。
命題5的證法是這樣的：已知AB=AC，延長AB到F，AC到G，使AF=AG。引用命題4，易知△ADC≌△AEB，得出BH=CF，∠BFC=∠BGC，注意到BF=CG，再引用命題4，易得△FBC≌△GCB，進而得到∠FBC=∠GCB，於是∠ABC=∠ACB。
命題5在現代的中學課本中是從頂角A引角平分線來證明的，但《幾何原本》中，作角平分線是命題9，因此只能用前面的4個命題來證明。上述證法雖然很巧妙，但對於初學者卻是一個難關。西歐對此定理戲稱為“笨蛋的難關（Asses' Bridge）”，照原文直譯，就是“驢橋”，因此，我國也有將此命題譯作“驢橋定理”的。
證明
歐幾里得的證明
歐幾里得的證明包括第二個結論，就是若三角形的二腰延伸超過底邊，則二腰延長線和底邊的夾角也會相等。歐幾里得的證明中包括了繪製二腰延長線的輔助線，但當時的數學家普羅克魯斯指出他沒有用到第二個結論，而且若在三角形內部繪輔助線，會使證明比較簡單。歐幾里得的證明用到稱為SAS的三角形全等，是幾何原本中的上一個命題。
圖1.歐幾里得幾何原本第一卷的命題五其他證明方式
在教科書（例如人教版數學教科書在八年級“軸對稱”一章）上常見的作法是作頂角A的角平分線。此證明方式比歐幾里德的簡單，但在幾何原本中命題9才是作角平分線，因此若幾何原本中在命題5就使用角平分線，會有循環論證的問題。
圖2.人教版數學教科書證明其證明如下：
1）令三角形為ABC，其中線段AB=線段AC。
2）作角BAC的角平分線，和線BC交與X點。
3）線段AB=線段AC，線段AX和自身等長，而且∠BAX = ∠CAX，因此依照SAS全等，三角形BAX和CAX全等，因此可得角B和角C相等。
