馬蒂厄方程

在數學中，馬蒂厄方程是用於處理套用數學中各種問題的某些特殊功能，包括：振動橢圓鼓、用於質譜的四極質譜儀和四極離子阱、周期介質中的波動，例如光學晶格中的超冷原子、強制振盪器參數共振的現象、精確的平面波解決方案在廣義相對論中、量子擺哈密頓函式的本徵函式、旋轉電偶極子的斯塔克效應。

一般來說，可以用馬蒂厄方程求出在橢圓柱坐標中分離的微分方程的解。

基本介紹

• 中文名：馬蒂厄方程
• 外文名：Mathieu function
• 領域：數學
• 作用：處理套用數學問題的某些特殊功能
• 功能舉例：強制振盪器參數共振的現象等
• 相關名詞：亥姆霍茲方程

簡介

在數學中，馬蒂厄方程是用於處理套用數學中各種問題的某些特殊功能，包括：

（1）振動橢圓鼓頭；

（2）四極質譜儀和四極離子阱用於質譜；

（3）周期介質中的波動，例如光學晶格中的超冷原子；

（4）強制振盪器參數共振的現象；

（5）精確的平面波解決方案在廣義相對論中；

（6）量子擺哈密頓函式的本徵函式；

（7）旋轉電偶極子的斯塔克效應；

（8）一般來說，可以求出在橢圓柱坐標中分離的微分方程的解。

馬蒂厄方程

馬蒂厄微分方程的規範形式是：

馬蒂厄微分方程是僅有1個諧波模式的Hill方程。

緊密相關的是馬蒂厄的修正微分方程：

在替換u = ix之後。

上述兩個方程可以從亥姆霍茲方程得到二維，通過將其表示為橢圓坐標，然後分離兩個變數。這就是為什麼它們也被稱為角和徑向馬蒂厄方程。

替代t=cos（x）將馬蒂厄方程轉換為代數形式：

這在t = -1，1中有兩個規則的奇點，在無窮遠處有一個不規則奇點，這意味著一般（與許多其他特殊函式不同），馬蒂厄方程的解不能表達 在超幾何函式方面。

馬蒂厄微分方程出現在許多情況下的模型，包括鐵路軌道的穩定性，列車驅動，季節性強迫人口動態，四維波動方程，以及限制循環穩定性的Floquet理論。

弗洛凱解（Floquet solution)

根據弗洛凱定理（或Bloch定理），對於a，q，馬蒂厄方程的固定值，承認了形式的復值解

其中μ是一個複數，弗洛凱指數（或有時馬蒂厄指數）和P是複數值函式，它在x中是周期性的，周期為π。 然而，P通常不是正弦曲線。 在下面的示例中，a=1，q =1/5，μ≈1 + 0.0995i（實部，紅色；虛部，綠色）：

定解

給定q，對於a的許多特殊值，稱為特徵值或簡單的特徵值，馬蒂厄方程承認與周期性2π或周期性π的解。 馬蒂厄餘弦和正弦函式的特徵值分別寫為a_2n（q）、a_2n+1（q）、b_2n+1（q）、b_2n+2（q），其中n是自然數。 馬蒂厄餘弦和正弦函式的周期性特例通常寫為CE（n，q，x）或者是SE（n，q，x），儘管它們傳統上被賦予不同的歸一化（即，它們的L²範數等於π。 因此，對於q，我們有

這是q = 1的前幾個周期馬蒂厄餘弦函式：

注意，例如CE（1,1，x）（綠色）類似於餘弦函式，但具有較平坦的山丘和較淺的山谷。

通過擾動理論最容易地獲得了q的上升冪的周期馬蒂厄函式的系列擴展。 對於q的大值，兩個相鄰的周期性解決方案合併到Müller-Kirsten的書中的q的大值的漸近解。