馬爾可夫數問題(Markoff numbers problem)一個著名的不定方程的解引出的著名的整數問題.
基本介紹
- 中文名：馬爾可夫數問題
- 外文名：Markoff numbers problem
馬爾可夫數問題(Markoff numbers problem)一個著名的不定方程的解引出的著名的整數問題.不定方程
xz十y+zz~3xyz，(1)
已引起了廣泛的研究.用x=y=1代人，可求得方程(1)的兩個整數解(1,1,1和(1,1,2，一般稱為方程(1)的奇異解.可以證明，除了這兩個奇異解外，方程(1)的其他整數解((x,y,z)中的三個數沒有相同者，而且都可以由這兩個奇異解藉助解二次方程得到.下面列出一些較小的解(其中x越y毛z，並按z值由小到大排列):
(1，1，1)，(1，1，2)，(1，2，5)，(1，5，13)，(2，5，29)，
(1，13，34)，(1，34，89)，(2，29，169)，(5，13，194)，…
方程(1)的正整數解中的z的取值由小到大是:1，2，5，13，29，34，89，169，194，233，433，610，985，…稱為馬爾可夫數.是俄國數學家馬爾可夫(Mapxoe},A. A.)大約在1879年研究過的方程(1)(稱為馬爾可夫方程)的整數解引出的數.關於馬爾可夫方程與馬爾可夫數之間有一個未解決的問題:每一個馬爾可夫數z是否都能確定惟一一個馬爾可夫方程(1)的整數解((x,y,z)?這裡xvy<z.如果M(N)表示方程(1)具有x鎮y鎮z鎮N的整數解的個數，則扎基厄(Zagier,D. B.)證明了
M(N)=C(1nN)2+O((1nN)’+‘)，
式中。為任意小的正數，C}O. 180717105，並且他猜測，第n個馬爾可夫數式中A=el} }}10.5101504.
比馬爾可夫方程更一般的是赫爾維茨方程 二l+式+…+x籠= ax,xz...x . (2)
這是德國數學家赫爾維茨(Hurwitz, A.)大約在1907年提出的.可以證明，對於a}n，方程(2)沒有正整數解;對於a=n，方程(2)的正整數解都可以由生成元(1,1,"',1)產生;對於a:1簇a簇n,力一程(2)必有有限個解(稱為生成元)可以產生所有其他正整數解.1993年，巴拉戈(Baragar,A.)已經證明:對於任意給定的正整數g，必有無窮多對((a,n)，使得要獲得方程(2)的全部解至少需要K個生成元.對於給定的正整數N，赫爾維茨方程
二{+xi+…+x三= nxixz…二，，滿足二鎮N(i=1, 2, """,n)的正整數解的個數記為M(n,N).巴拉戈證明了，對於任給的。}O,M(n,N)的增大與C (1n N)00`'+‘同步.關於式中的a(n),扎基厄證明了a(3)=2，而a(4)介於2. 33與2. 64之間，後來又改進成:2. 43Ga(4)G2. 47一般地，有ogZ n鎮a(n)鎮1. 5 loge n.
