馬尤厄－嘉當形式

數學上，一個李群G的Maurer-Cartan形式是一個特別的微分形式，它包含關於這個李群的結構的基本的無窮小信息。它被埃里·嘉當多次使用，作為他的移動標架法的基本組成。

基本介紹

• 中文名：馬尤厄－嘉當形式
• 外文名：Maurer–Cartan form
• 分類：數理科學

定義

設 是李群在麼元的切空間(它的李代數)。G可以由左平移作用在自身

這個誘導出切叢到自身的一個映射

一個左移不變向量場是 的一個截面，使得

∀

性質

Maurer-Cartan形式是在g值(在g中取值)的G上的1形式，根據公式作用在向量上。 若X是G上的左移不變向量場，則在G為常數。而且，若X和Y都是左移不變，則

其中左邊的括弧為向量場的李括弧，而右邊的括弧為李代數g的李括弧。(這可以作為g上的李括弧的定義。)這些事實可以用來建立李代數的同構

G上的左移不變向量場

根據微分的定義，若X和Y為任意向量場，則

實用上，若X和Y為左移不變，則

所以

但是左邊只是一個2-形式(其值只和X,Y在一點的取值有關，所以跟X,Y作為場在周圍的變化無關)，所以方程不依賴於X和Y是左移不變的條件。所以這個方程對所有向量場X和Y成立。這被稱為Maurer-Cartan方程.

如果G嵌入到GL(n，R),則可以把的公式顯式的寫成

若我們在李群G上引入主叢，並把G上的左作用定義為變換函式，則聯絡形式是平坦的。實際上

和Maurer-Cartan方程完全一致。