預序關係

預序關係

預序關係（簡稱預序，又稱先序，preorder，quasi-order）、在數學中，是一類接近於偏序關係的二元關係，但僅滿足自反性和傳遞性而不滿足反對稱性。偏序的大多數理論均可擴展到預序。

基本介紹

定義,說明,導出偏序,舉例,參見,

定義

考慮集合 P 及其上的二元關係
。若具有自反性和傳遞性，則稱為預序。具體來說，對 P 的任意元素 a，b 和 c，下列性質成立：
　　自反性：a
a
傳遞性：若a
b且b
c，則a
c
帶預序的集合稱為預序集合（preordered set，或者proset）。
同時滿足反對稱性（若 a
b 且 b
a，則 a = b）的預序為偏序。
另一方面，如果一個預序滿足對稱性（若a
b，則b
a），則為等價關係。

說明

作為特例，空集上的空關係為一預序。空集加上空關係構成一預序集。

導出偏序

將預序集的等價元素等同起來，可得到由該預序集所導出的偏序集。具體過程如下：定義預序集 X 上的等價關係
，使得 a
b 若且唯若 a
b 且 b
a。定義所得商集
（所有
的等價類構成的集合）上的序關係
，使得[x]
[y] 若且唯若 x
y。由
的構造可知，
的定義與所選等價類的代表元素無關，故上述定義明確。易證該關係為一偏序。

舉例

  • 有向圖（可以包括圈）上的可到達關係給出了一個預序≤，對於有向圖中的任意兩點x, y，x≤y若且唯若存在一條由x到y的路徑。反過來說，每個預序都可理解為一個有向圖上的可到達關係。（比如，如果x≤y的話，就規定這個圖包含由x到y的有向邊。）不過，這種對應關係不是唯一的。不同的圖也可以給出相同的可到達關係。而同樣地，有向無環圖上的可到達關係也誘導出一個偏序。
  • 拓撲中網的收斂定義使用預序比使用偏序可避免重要特徵的丟失。
  • 可數全序間的嵌入（embedding）關係。
  • 圖論中的graph-minor關係。
  • 全預序的例子：一般模型中的偏好概念。

參見

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