項測試

項測試（term test for divergence）是數學上測試無窮級數是否發散的一個方式。

基本介紹

• 中文名：項測試
• 外文名：term test
• 學科：數學

介紹

第n項測試（the n-th term test for divergence）是數學上測試無窮級數是否發散的一個方式。

若 或極限不存在，則 發散。

用途

項測試和其他較強的收斂測試不同，此測試方式只能確認級數是否發散，不能確認級數是否收斂。若不符合此測試的條件，無法判定級數是收斂或是發散。例如：

若 ， 則 可能收斂也可能發散，此條件下無法用此測試判定級數是否收斂。

調和級數就是不符合此測試的發散條件，卻又是發散級數的典型範例。調和級數是以下p級數的特例：

配合項測試及其他測試，可得到以下的結果：

• 若p≤ 0，根據項測試可知此級數發散。
• 若0 <p≤ 1，根據項測試無法判定級數發散或收斂，根據積分判別法可判定此級數發散。
• 若1 <p，根據項測試無法判定級數發散或收斂，根據積分判別法可判定此級數收斂。

證明

要證明此測試法，一般都會證明其逆否命題（contrapositive）形式；

若 收斂，則 。

利用極限證明

若s_n是級數的部分和，則上述對數列的假設可推得

因此可得

柯西判別法

級數收斂的假設表示級數可以滿足柯西判別法的測試：對任 均存在一數字N使得

在所有n>N及p≥ 1的條件下均成立。令p= 1，即可得到。

套用範圍

項測試最簡單的版本可以用在實數的無窮級數中。上述的二個證明也可以在適用在賦范向量空間中。