Harrison 及 Kreos (1979)提出了一種求解金融衍生產品的定價方法——鞅定價方法。在鞅定價方法下，證券的價格可由折現該產品未來現金流量得到，且期望值折現在風險中立下計算。鞅定價方法比隨機微分方程簡單，也不會涉及複雜的積分。許多隨機微分方程不能求解的問題，鞅定價方法可輕易求解。
股票價格的隨機過程可以表示為：
WP 表示在機率測度P下的布朗運動。上述公式可以轉化為風險中性機率測度Q下的隨機過程：
比較上述兩個公式可以發現，原來的μ已經被無風險利率r 取代，波動率σ 並未受到影響。
在風險中性機率測度Q下，股票價格的動態過程變為：
因此，相應的其動態過程可表示為：
在定價股票期權時，須計算EQ[ST | ST > K] ，它表示在到期日T，股價S_T大於執行價格K 的期望。
利用Girsanov 定理，經過一系列推導，可以得到：
EQ[ST | ST > K] = SErTN(d1)
計算出EQ[ST | ST > K] 後，然後再依據買、賣權以及其它相應的條件比較容易的得到股票期權的價格。
基本介紹
- 中文名：鞅定價方法
- 行業：機率學
- 提出者：Ville
術語解析,相關條目,參考文獻,
術語解析
鞅這個術語早在20 世紀30 年代首先由Ville(1939)引進，但是基本概念來自於法國機率學家列維(Levy，1934)。但是真正把鞅理論發揚光大的則是美國數學家多布(Doob)，他於1953 年的名著《隨機過程》一書中介紹了(包括上鞅分解問題在內的)他對於鞅論的系統研究成果。它引起了一般過程理論的研究，從此鞅成為現代機率和隨機過程的基礎，而且在決策和控制模型等方面有著重要套用，並得到快速發展。
鞅在20 世紀70 年代末期被引入金融經濟學用來描述資產的價格運動過程，最早出現在Pliska&Kreps。由於較多地藉助測度論，鞅顯得更加抽象，但是令人驚奇的是，它的引入不僅使得微觀金融理論分析(例如期權定價)變得更加簡潔和優雅；並且由於可以藉助現代數值計算技術，它還提供了更為強大的運算能力，而這對於實際工作又是至關重要的。
“鞅”一詞來源於法文martingale 的意譯，原意是指馬的籠套或者船的索具，同時也指一種逢輸就加倍賭注，直到贏為止的惡性賭博方法(double strategy)。但這都沒有說明它在金融學中的確切含義。鞅究竟是什麼呢?簡單的說，鞅是“公平”賭博(fair game)的數學模型。那么什麼又是公平的賭博呢?假設一個人在參加賭博，他已經賭了n 次，正準備參加第n +1 次賭博。如果不做什麼手腳，他的運氣應當是同他以前的賭博經歷無關的，用Xn 表示他在賭完第n次後擁有的賭本數，如果對於任何n都有
E(Xn | Xn − 1) = Xn − 1
成立，即賭博的期望收穫為0，僅能維持原有財富水平不變，就可以認為這種賭博在統計上是公平的。
在金融分析中，投資者通常會根據過去發生的事件來指導未來的投資決策，我們可以把X 構想為對由於信息發布而產生波動的金融資產價格(過程)，而EXn 就是對這種價格運動的預測，而恰好鞅就是用條件數學期望來定義的，這種相似性就激發了使用鞅和與之相關的數學概念來描述金融資產價格運動過程特徵的熱情，鞅在20 世紀80 年代以後迅速成為主流金融經濟學研究中標準的時髦。
相關條目
期權定價模型
Black-Scholes期權定價模型
二項期權定價模型
風險中性定價理論
參考文獻
1 呂潔.鞅方法在期權定價中的套用[J].財經界（學術）,2010,(16):37
