克卜勒第二定律

克卜勒行星運動第二定律，也稱等面積定律，指的是太陽系中太陽和運動中的行星的連線（矢徑）在相等的時間內掃過相等的面積。

該定律是德國天文學家約翰尼斯·克卜勒發現的三條克卜勒定律之一。最初刊布在1609年出版的《新天文學》中，該書還指出該定律同樣適用於其它繞心運動的天體系統中。

克卜勒第二定律是對行星運動軌道更準確的描述，為哥白尼的日心說提供了有力證據，並為牛頓後來的萬有引力證明提供了論據，和其他兩條克卜勒定律一起奠定了經典天文學的基石。

基本介紹

• 中文名：克卜勒行星運動第二定律
• 外文名：Kepler's second law of planetary motion
• 別稱：等面積定律
• 表達式：R·VS·sinα= V'S·R'·cosβ
• 提出者：約翰尼斯·克卜勒
• 提出時間：1609年
• 套用學科：物理學；天文學；天體物理學
• 適用領域範圍：一切繞心的天體運動；經典力學；經典天文學
• 記載著作：《新天文學》

定律定義

約翰內斯·克卜勒在《新天文學》中的原始表述：在相等時間內，太陽和運動著的行星的連線所掃過的面積都是相等的。

常見表述：中心天體與環繞天體的連線（稱矢徑）在相等的時間內掃過相等的面積。即：

式中，k為克卜勒常量（且不同的天體系統內擁有不同的克卜勒常量），r為從中心天體的質心引向行星的矢量。

為行星速度與矢徑r之間的夾角。

如右圖所示，用公式表示為：Sek=Scd=Sab。

數學推導

由於萬有引力充當向心力，所以角動量守恆定律給出（m為行星質量，r為行星到太陽的距離，θ為行星與太陽連線的夾角）：

解出r²，得到，

同時，極坐標形式下，面積元為：

代入上面的求得的r²，可以得到：

即：

再把兩邊積分即得到了克卜勒第二定律。

由一式可以看出，這一定律實際揭示了行星繞太陽公轉的角動量守恆。

定律要素

適用範圍

克卜勒定律適用於宇宙中一切繞心的天體運動。

局限性

1.對於處在較大引力場中的行星，如水星，會出現近日點進動的現象，此時克卜勒第二定律需要用廣義相對論加以修正。具體為：

1915年，愛因斯坦根據廣義相對論把行星的繞日運動看成是它在太陽引力場中的運動，由於太陽的質量造成周 圍空間發生彎曲，使行星每公轉一周近日點進動為：

其中a為行星軌道的長半軸，c為光速，以cm/s表示，e為偏心率，T為公轉周期。對於水星，計算出ε=43″/百 年。

2.對於具有極大能量的天體，如類星體，現有的克卜勒第二定律顯然不適用。

衍生推論

1.設行星1和行星2運行軌道的半徑分別為R₁和R₂，當R₁小於R₂ 時

則有

（1）行星1的線速度大於行星2的線速度；

（2）行星1的角速度大於行星2的角速度；

（3）行星1的加速度大於行星2的加速度 ；

（4）行星1的運行周期小於行星2的運行周期 ；

（5）在相同的時間內，行星1的運行路程大於行星2的運行路程 ；

（6）在相同的時間內，行星1掃過的角度大於行星2掃過的角度。

2.行星在橢圓軌道運動時，極徑(又稱向徑R)所掃過面積與經過的時間成正比，即掠面速度守恆 (dS/dt=R*da/dt=vR)，亦即矢積守恆，又稱動量矩（角動量mvR）守恆。

拓展形式

數據：兩倍掠面速度(J₀)，兩倍橢圓面積(2πab)，橢圓周期定律(T)，極徑(R)，偏斜速度(V_S)，偏斜動量(mV_S)，速度方向與極徑夾角(α)，球面速度(V_D)，極徑角速度(ωR), 弧高(RL) ，最小曲率半徑（L₀），速度係數（V_C），天體引力常數（GM）

克卜勒第二定律掠面速度守恆公式：

J₀ = (GML₀）^1/2 = L₀（GM/ L₀）^1/2 = L₀·Vc = a(1-e²)·V_C = R·V_S·sinα= V_S·R·cosβ。

這是天體偏斜運動一般的矢積面速度守恆公式：極徑*天體速度*兩矢夾角正弦。

克卜勒第二定律幾種表述：

表述一：兩倍掠面速度(J₀)= 兩倍橢圓面積(2πab)/橢圓周期(T)

J₀ = 2πab/T = 2(πab/n)/(T/n) = 2dA/dt

表述二：極徑(R)* 天體速度(VS)*兩矢夾角的正弦sin(α)的三個變數的積是不變數。

J₀ = V_S·R·sinα= V_S·R·cosβ

表述三：天體速度(V_S)*弧高(RL) 二個變數的積是不變數。

J₀ = V_S·（Rcosβ）= V_S·RL

表述四：極徑(R)*球面速度(V_D)二個變數的積是不變數。

J₀ =R·（V_S cosβ）= R·V_D = R·dD/dt

表述五：極徑的平方(R²)*極徑角速度(ωR)的積是不變數。

J₀ = R·V_D = R（RωR） = R²·ωR

表述六：最小曲率半徑（L₀）*速度係數（V_C）。

J₀ = R·V_D=（L₀/K₀）·（V_C K₀）= L₀·V_C = L₀（GM/ L₀）^1/2

表述七：天體引力常數（GM）與最小曲率半徑（L₀）積的平方根。

J₀ = L₀·V_C = L₀·（GM/ L₀）^1/2 = （GM·L₀）^1/2

特別的：

近日點的天體速度最大：Vm= J₀/Rn =J₀/a(1-e) = a(1-e)(1+e)·V_C/a(1-e) = V_C(1+e)

遠日點的天體速度最小：Vn= J₀/Rm =J₀/a(1+e) = a(1-e)(1+e)·V_C/a(1+e) = V_C(1-e)。

發展簡史

丹麥天文學家第谷·布拉赫死後，留下20多年的觀測資料和一份精密星表。第谷提出了一種介於地心說和日心說之間的學說，在17世紀傳入我國，並產生重大影響。在沒有天文望遠鏡的情況下，第谷對天體方位進行了幾十年的觀測，憑藉著驚人的毅力和耐心，積累了大量的精確材料，克卜勒的發現，就是通過歸納分析這些材料得出的。

克卜勒認為通過對第谷的記錄做仔細的數學分析可以確定哪個行星運動學說正確的：哥白尼日心說，古老的托勒密地心說，或者是第谷本人提出的第三種學說。但是經過多年仔細的計算和研究，他發現這三種學說與第谷的星表和觀測數據都不符合。

約翰內斯·克卜勒在無法用已有的行星運動理論解釋第谷的觀測資料的情況下，果斷放棄了行星作勻速圓周運動的觀念，並試圖用別的幾何圖形來解釋，經過四年的苦思冥想，也就是到了1609年他發現橢圓形完全適合這裡的要求，能做出同樣準確的解釋，於是得出了“克卜勒第一定律”：火星沿橢圓軌道繞太陽運行，太陽處於兩焦點之一的位置。

約翰內斯·克卜勒

當克卜勒繼續研究時，“詭譎多端”的火星又將他騙了。原來，克卜勒和前人都把行星運動當作等速來研究的。他按照這一方法苦苦計算了1年，卻仍得不到結果。後來他發現，火星運行速度是不勻的，當它離太陽較近時運動得較快(近日點),離太陽遠時運動得較慢(遠日點)。

克卜勒發現該問題後，經過精準刻苦的計算，他發現：在橢圓軌道上運行的行星速度不是常數，而是在相等時間內，行星與太陽的連線所掃過的面積相等。這就是行星運動第二定律，又叫“面積定律”。

這兩條定律刊布在1609年出版的《新天文學》(又名《論火星的運動》)中，該書還指出兩定律同樣適用於其他行星和月球的運動。

套用領域

克卜勒第二定律，或者是用幾何語言，或者是用方程，將行星的坐標及時間跟軌道參數相連結。有效解決了對於天體運動規律的解釋。在研究天體的運動中，利用牛頓的力學和克卜勒三大定律的有效結合，可以預測天體的運行軌道、運動速度、旋轉周期，從而能夠預測某一時刻到天體在空間中的位置，能夠套用到天體探測、衛星發射等領域。

定律影響

克卜勒定律一經確立，本輪系徹底垮台，天體運動不再無規律可循，克卜勒定律成了天空世界的“法律”。後世學者尊稱克卜勒為“天空立法者”。

首先，克卜勒定律在科學思想上既有重要影響。其表現出的無比勇敢的創造精神和質疑精神激勵著後來的學者們勇於創新，勇於質疑。

其次，克卜勒第二定律和克卜勒第一定律徹底摧毀了托勒密的本輪系，把哥白尼體系從本輪的桎梏下解放出來，為它帶來充分的完整和嚴謹。從此，不須再藉助任何本輪和偏心圓就能簡單而精確地推算行星的運動。

第三，包括克卜勒第二定律在內的克卜勒定律使人們對行星運動的認識得到明晰概念。它證明行星世界是一個勻稱的、可以計算的系統。太陽位於每個行星軌道的焦點之一。行星公轉周期決定於各個行星與太陽的距離，與質量無關。

第四，克卜勒第二定律有力的證明了日心說，進一步推翻了神創論，弘揚了科學精神，推動了時代發展。為後來牛頓萬有引力的提出奠定了基礎，提供了有力論據。