面積原理

面積原理亦稱格朗沃爾面積定理，是∑類函式展開式係數的一個性質定理。此定理由格朗沃爾(Gronwall , T. H.)於1915年提出。

基本介紹

• 中文名：面積原理
• 外文名：area principle
• 適用範圍：數理科學

簡介

面積原理亦稱格朗沃爾面積定理，是∑類函式展開式係數的一個性質定理，此定理由格朗沃爾(Gronwall , T. H.)於1915年提出。

該定理斷言：若 ，則 。

證明

設w=u+iv=F(ζ)將圓周|ζ|=ρ（具有正向）映照成閉曲線Γ_ρ，其內部區域面積為S_ρ，則

令ρ→1即得定理的前半部分。

等號成立限於 ，即得映像區域無外點。

套用

之所以稱其為面積原理，是因為定理的結論是根據 的余集的面積大於零的幾何事實而得到的，這裡ρ可以是任何大於1的數。

從格朗沃爾面積原理的證明可見，面積原理的內容是可以推廣的，並由此可產生一系列美好的不等式，如格倫斯基不等式或戈魯金不等式。

∑類

∑類是一類單葉函式。

它是由全體在單位圓外具有展開式g(z)=z+b₀+b₁z^-1+b₂z^-2(1<|z|<+∞)的單葉函式構成的集合。