非解析微分系統的中心問題及分岔

《非解析微分系統的中心問題及分岔》是依託四川大學，由陳興武擔任項目負責人的青年科學基金項目。

基本介紹

• 中文名：非解析微分系統的中心問題及分岔
• 項目類別：青年科學基金項目
• 項目負責人：陳興武
• 依託單位：四川大學

項目摘要

平面微分系統的中心是非雙曲動力系統中的一種重要情況。由於它涉及物理上的周期振盪、共振及同步等問題，近年來人們十分關注其線性化、等時性及臨界周期分岔，並對解析系統已獲得大量結果，證明了等時性與解析線性化的等價性。然而，在切換微分系統等非解析系統中此二者是不等價的。本項目將研究切換微分系統和非整數次的近多項式微分系統這兩類非解析系統的中心問題及分岔。對切換微分系統，由於等時性與解析線性化不再等價以及向量場存在切換線，解析系統中經典的線性化方法和橫截交換法不再成立；對非整數次的近多項式微分系統，由於系統的次數非整數，尋找解析的線性化變換來獲得等時性結果不再可行。在臨界周期分岔方面，由於各階等時常數將構成一個半代數系統，其生成理想的代數簇不可約分解變得尤為困難。我們將使用一種新的計算周期的反轉方法和復化的思想，給出這兩類非解析微分系統的中心條件，進而給出等時條件，並確定臨界周期分岔的個數和位置。

結題摘要

非雙曲動力系統中的中心問題及分岔一直是微分方程與動力系統的研究熱點。它涉及物理上的周期振盪、共振及同步等問題。而且，由於實際問題中諸如控制理論中的反饋系統、電力電子方面的切換線路系統、工程力學中碰撞系統和乾摩擦系統等大量地使用非解析微分方程組建立數學模型，近年來人們十分關注非解析微分系統的定性理論研究和分岔研究。本項目主要在解析系統的p:-q中心問題的理論基礎上開展切換微分系統和非整數次的近多項式微分系統這兩類非解析系統的中心問題及分岔的研究。具體地，在解析p:-q振動系統方面，我們對一類1:-1振動的三次Kolmogorov系統給出了其周期軌族具有同步性的充分必要條件，並用Darboux方法獲取了顯式的線性化變換；對非同步情形，給出了局部臨界周期的個數以幫助分析周期軌族周期的變化。對具有1:-q振動形式的三次Lotka-Volterra系統，我們克服q的不定性所帶來的困難，給出了多類中心條件。在非整數次近多項式系統方面，我們研究了一類2d+m（其中d是非負實數）次系統的中心及等時性問題，通過構造近解析變換把原系統解析化以使得解析系統的研究方法可行，並對m=3,5的情形給出了中心及等時條件。在切換系統方面，我們給出周期計算的反轉方法以簡化切換周期的計算，並通過構造各子系統的相容橫截交換子給出證明等時性的方法。作為套用，我們在切換Bautin系統中發現了非平凡等時中心。