平面切換微分系統的正規形及分岔

《平面切換微分系統的正規形及分岔》是依託四川大學，由陳興武擔任項目負責人的面上項目。

基本介紹

• 中文名：平面切換微分系統的正規形及分岔
• 項目類別：面上項目
• 項目負責人：陳興武
• 依託單位：四川大學

項目摘要

正規形是平面微分系統的最本質形式，其理論在微分系統的分岔及定性研究中極為重要。隨著實際中越來越豐富的非光滑系統分岔現象的發現，大量工作從光滑系統轉入到非光滑系統。相對光滑系統的正規形理論，切換微分系統等非光滑系統的正規形理論還是空白。本項目將對平面切換微分系統的正規形進行探索。由於系統中切換線、各切換區域內不同向量場的存在以及系統的不連續性，光滑微分系統中的經典方法已不適於用來獲取切換系統的正規形。特別地，切換線上的不同向量場必須具有的相容性給正規形的獲取帶來極大困難。我們希望對切換系統量身構造一類分區域光滑的平面映射以克服系統的切換及向量場間的相容要求所產生的困難，獲得平面切換微分系統的正規形。進一步，我們將利用正規形中的共振項定義一列廣義李雅普諾夫量和一列廣義周期量以研究平面非雙曲切換微分系統的Hopf分岔和臨界周期分岔，並給出一種突破經典方法中對這些量無關性要求的新方法。

結題摘要

正規形是平面微分系統的最本質形式，其理論在微分系統的分岔及定性研究中極為重要。隨著實際中越來越豐富的非光滑系統分岔現象的發現，大量工作從光滑系統轉入到非光滑系統，甚至是不連續系統。相對光滑系統的正規形理論，切換微分系統等非光滑系統的正規形理論還是空白。本項目主要對平面切換微分系統的正規形進行探索並套用到分岔研究中。由於系統中切換線、各切換區域內不同向量場的存在以及系統的不連續性，光滑微分系統的經典方法已不適用於用來獲取切換系統的正規形。切換線上的不同向量場必須具有的相容性給正規形的獲取帶來極大困難。在本項目中，我們主要對切換系統量身構造一類分區域光滑的平面映射以克服系統的切換及向量場間的相容要求所產生的困難，最終獲得平面線性切換系統的正規形以及非雙曲切換系統的二階正規形。利用此二階正規形中的共振項定義廣義李雅普諾夫量和廣義周期量以研究平面非雙曲切換微分系統的Hopf分岔和臨界周期分岔，給出了非退化Hopf分岔和非退化臨界周期分岔條件以及二階等時中心條件。對退化Hopf分岔，我們給出一種突破經典方法中對李雅普諾夫量無關性要求的新方法。Lienard系統是非常經典的一類力學系統，越來越多地學者研究其切換形式。由於其動力學行為的複雜性，即使解析情形的Lienard系統動力學研究都還停留在低次以及局部。因此，我們研究一類三次Lienard系統的全局動力學並在多個平衡點情形下解決了前人提出的關於重極限環分岔曲面的猜想。具有乾摩擦的系統也是非光滑系統中一類重要的系統，其定性理論的研究由於不光滑性而非常困難，甚至一些特殊解的存在性都沒有一般結果，比如周期解。我們研究了一類具有混合摩擦項的受迫系統的調和解，在比前人工作中更弱的條件下給出了其調和解的存在性和唯一性。