非線性系統的非局域的對稱和約束及求解研究

《非線性系統的非局域的對稱和約束及求解研究》是依託寧波大學，由李彪擔任負責人的國家自然科學基金資助面上項目。

基本介紹

• 中文名：非線性系統的非局域的對稱和約束及求解研究
• 依託單位：寧波大學
• 項目負責人：李彪
• 項目類別：面上項目

項目簡介

非線性系統的求解研究在非線性科學中極為重要,是國際上熱門且前沿的課題。數學機械化的研究為國際自動推理的研究開闢了新的前景，符號和數值計算有機結合已成為研究非線性問題的主要特徵。本項目將深入研究非線性系統的非局域對稱、非局域約束、精確解和高精度數值解：基於達布變換、貝克隆變換、雙線性化等經典方法，探索非線性系統的非局域對稱及其局域化方法，揭示非線性科學中一些深層次的內在聯繫和可能的實際物理套用；深入研究非局域約束理論和方法，給出若干可積系統的新的類型的解或解的結構；把可積系統約化為非線性常微分方程組，通過數值求解這些常微分方程組，獲得可積系統的高精度數值解；研究近可積系統，發展一個高精度、可信的數值求解方法。從理論、算法和套用上深入研究上述問題，為實際問題的解決提供新的原理和工具，為數學機械化在非線性領域、如光孤子通信、玻色-愛因斯坦凝聚、流體力學等領域的套用打開新的突破口。

結題摘要

非線性系統的求解研究在非線性科學中極為重要,是國際上熱門且前沿的課題。 本項目從理論、算法和套用上深入研究了求解非線性系統的若干問題，為實際問題的解決提供了一些原理和工具，取得了如下一些成果： (1) 基於符號計算，Lie群和孤子理論中的Painleve分析、Lax對和雙線性方法等理論和方法，研究了若干非線性系統的非局域對稱、非局域約束和精確解。獲得了變 式 KdV方程、(2+1)-維破裂孤子方程，(2 + 1)-維Gardner方程，(2+1)-維KdV–mKdV方程, 變式Boussinesq方程等的非局域對稱和豐富的精確解。將非局域的留數對稱局域化後，得到了非局域留數對稱有關的幾種類型的相似解與約化方程，進而動力學分析和數值模擬研究了方程的孤立波與橢圓周期波的相互作用機制。 (2) 基於Bell多項式理論研究了(2+1)-維變係數Caudrey-Dodd-Gibbon-Kotera-Sawada方程的可積性，系統地構造該方程的雙線性形式，雙線性Backlund變換，Lax 對和無窮多守恆律，得到了係數之間的可積約束條件和構造了該方程的N孤子解。基於Painleve截斷和相容tanh展開法獲得了(2+1)-維破裂孤子方程和變式Boussinesq方程的孤立波和橢圓周期波的相互作用解,利用傳統的方法這些解很難得到。 (3) 利用雙線性方法和長波極限方法，我們獲得了Benjamin Ono 方程和具有PT(Parity-Time)對稱勢的（2+1）維非線性薛丁格方程的呼吸子解和怪波解。論文中提出的方法對最近非常熱門的非局域非線性系統怪波的研究具有較重要意義，為進一步研究其他非局域非線性系統的各種精確解和動力學特性提供一種途徑和方法。 (4) 基於相似變換與數值模擬，構造了兩個耦合動力非線性薛丁格方程的各種新穎的精確解。研究了外勢中通過受激拉曼絕熱通道耦合的原子-分子凝聚體的暗態解，所得理論結果對原子-分子凝聚體中的暗態解的實驗實現提供了一種途徑。研究了外勢中具有自旋軌道耦合的自旋-1 的凝聚體基態結構和量子相變，所得結果為我們控制旋轉超冷原子氣體開拓了一種新方法。