非線性方程的非點李對稱及其相關問題研究

《非線性方程的非點李對稱及其相關問題研究》是依託杭州師範大學，由梁祖峰擔任項目負責人的面上項目。

基本介紹

• 中文名：非線性方程的非點李對稱及其相關問題研究
• 項目類別：面上項目
• 項目負責人：梁祖峰
• 依託單位：杭州師範大學

項目摘要

非線性方程的對稱性研究是非線性數學物理研究的一個重要內容，不僅可以在數學上給出非線性方程本身的數學性質，而且可以在物理上給出非線性方程刻畫的物理問題的物理性質。目前對非線性方程的點李對稱的研究已經非常成熟和完善，但是非線性方程具有非常豐富的非點李對稱，如高階對稱、非局域對稱甚至非連續的離散對稱等，而有關非點李對稱的研究還未得到很好的發展，無論是求解方法方面還是研究成果方面都還十分有限。另外，與對稱相關的問題也非常多，如變換群、群不變解、守恆律等等，這些問題都具有非常重要的研究意義，這些問題的研究往往會給出一些全新的有意義的結果。本項目將重點研究非線性系統特別是可積系統的非點李對稱及其相關問題，一方面套用現有方法得到更多非線性模型的新非局域對稱及其相關新結果，擴大現有的研究成果，另一方面爭取在方法上有所創新，建立和發展新方法，獲得更多的新結果。

結題摘要

在非線性系統的非點李對稱方面，研究了非線性SG和ShG方程的與貝克隆變換相關的非局域對稱和非線性DSW方程的與Painleve流形相關的留數對稱。通過引入附加場得到一個擴張系統的同時將非局域對稱局域化，隨後由傳統方法求解擴張系統的對稱性約化得到原系統的相似約化解，得到孤子與背景周期波的相互作用波解。對於非線性SG和ShG方程，採用參數級數展開法誘導出了無窮多非局域對稱；通過對非局域對稱中函式的相容性條件方程採用級數展開構造了無窮多非局域守恆律；對貝克隆變換進行級數展開構造了無窮多局域和非局域守恆律。對非線性ShG方程進行非局域對稱約束構造得到了新非線性可積系統。將形式級數對稱法推廣到超對稱框架下得到了N=1超對稱BLMP系統、超對稱負KP系統和2+1維超對稱mKdV系統的無窮多一般對稱及其對稱代數。結果顯示超對稱可積系統的無窮多一般對稱和對稱代數結構與經典系統的相類似。得到了N=1超對稱mKdV系統的孤子和橢圓周期波的相互作用解，孤子在周期波背景中行進時沒有發生任何形變。用多線性分離變數法求解了DS III系統，得到了包含四個低維任意函式的嚴格解，其中兩個任意函式可以誘發系統的多種非線性激發，首次討論了多值的周期摺疊子和單值 dromion 之間的相互碰撞行為，該結果可以看作是單個摺疊子-dromion相互作用波的周期推廣。把KdV方程的與非局域對稱相關的孤子-周期相互作用波解用來解釋了具有超熱電子和正子的電子-正子-離子電漿系統中的離子聲波。針對目前備受關注的非線性非局域系統研究方面，主要考慮從流體的多渦模型出發，引入合適的對稱，建立了具有時間反演延遲和空間反演平移的非局域mKdV方程以及具有時間反演延遲、空間反演平移和電荷共軛的非局域NLS方程，所得的結果解釋了災害性天氣氣候中兩時兩地相關聯的兩個大氣阻塞事件的成熟狀態。為進一步刻畫大氣阻塞的生命周期現象，首次建立了變係數非局域非線性KdV方程，很好地解釋了兩時兩地相關聯的兩個偶極子型大氣阻塞的整個生命周期過程。