本書《非標準分析概論》是“北京科學出版社”於1995年出版的非標準分析的專著。作者：孫廣潤教授（曲阜師範大學）。全書35萬字。
本書闡述非標準分析的基礎理論和基本方法以及它在一些數學分支的新近套用成果。
本書共分十章。第一章為緒論。第二、三、四章為非標準分析的基礎知識，第五章到第九章分別討論非標準分析在微積分、微分方程、組合數學、圖論、拓撲學、泛函分析、測度論和機率論中的套用。第十章簡評非標準分析的歷史地位、方法論價值及哲學意義。
本書立論嚴謹，取材得當，注意揭示思想方法，理論與套用並重，討論細緻深入，章節系統分明。
本書可供理工科大學高年級學生或研究生作為選課教材，亦可作為一般數學研究工作者或科技工作者的工具書。使用本書時一般要求讀者具有理工科大學高年級程度的數學知識，其他讀者則可在具有第二、三、四、五章基本知識的基礎上作精簡閱讀，或者探求非標準分析方法在自身的研究課題上的套用。
基本介紹
- 書名：非標準分析概論
- 作者：孫廣潤
- ISBN：7-03-004843-X/O.820
- 類別：數學
- 頁數：216頁
- 定價：14:00元
- 出版社：北京科學出版社
- 出版時間：1995年7月
- 裝幀：平裝
- 開本：787*1092 1/16
圖書簡介,參考文獻,
圖書簡介
本書闡述自上世紀60年代由A.Robinson所創始的一新的數學課題和強有力的數學研究工具。它的名稱來自數理邏輯，它的內容涉及無窮實體，它的萌芽源遠流長，她的誕生是變革性的。它叫做：“非標準分析”。這一名稱容易使人誤解。其實，修飾詞“非標準”與日常語言“不是正規的”，是風馬牛不相及的。A.Robinson以其深邃的洞察力和卓越的聯想對比，發現現代數理邏輯的一個分支即模型論的成果，與實無窮小有著內在聯繫。Robinson藉助模型論的成果證明了實無窮小的存在性。它不再是Cauchy型變數，相應建立了嚴格的理論體系。本書仍沿用數理邏輯辭彙，將這一理論體系歸入“非標準模型”（美國《數學評論》1991的主題分類表之03H）,並稱之為“非標準分析”（NonstandardAnalysis)，下文簡稱之為NSA。
自NSA誕生以來的四十多年裡，其基本理論研究已獲得可觀發展，特別，NSA在數學的幾乎所有分支以及數學之外的領域，諸如經濟學、物理學和化學等，均取得了引人注目的套用成果。本書旨在較完整和系統地闡述NSA的基礎理論和基本方法。讀完本書，讀者將具備較好的NSA基礎，以從事自己領域裡的NSA套用研究。為了顯示NSA的力量，本書論述了一些主要分支的深刻而又富於表現力的非標準理論，並匯集了新近所取得的一些套用成果。
本書理論系統的處理，注重概念的歷史淵源和思想特色，例如不少國外文獻將星映射定義為滿足多種條件的映射，這種公理敘述之簡明性是可取的，但有失教學意義。按照本書系統，可以證明星映射滿足一些重要條件，如轉換原理、擴張原理和飽和原理。本書系統較為自然。簡言之，本書採用了構造性方法和公理化方法相結合的處理方式，以兼收思想特色與實用性之效。
作者力求闡明NSA的基本思想方法。從本書相當數量的“評註”看出作者的意圖：其一是揭示NSA的帶有共性的方法論特色，其二則為使敘述脈絡清晰，突出重點，開拓思路，力避材料之呆板堆積。
須說明的是，此前作者孫廣潤教授執筆的著作《現代無窮小分析導引》【1】（獲得前國家教委的“優秀著作獎”，大連理工大學出版社，1990年），已較詳細論述了非標準微積分。所以本書只對非標準微積分學作了精簡描摹。因此讀者將《現代無窮小分析導引》與本書結合起來閱讀是可取的，這有益於對初等分析的非標準描摹的理解。
由《參考文獻》看出，讀過本書的教授，肯定了作者對NSA的基礎理論之由淺入深、層層開拓、步步深入的敘述優點。這對於NSA理論的認識和掌握，是大有裨益的。與此同時，序言作者徐利治教授和諸多專家【2】、【3】、【4】、【5】評價本書內容豐富新穎，論述清晰嚴謹，而且文筆清麗，著意深遠，每能助人遐想。讀者特別有感於本書末章關於NSA的歷史淵源和地位（包括中國古代的無限思維之萌芽），方法論價值以及哲學意義，認為取材珍貴，觀點明朗。
本書最後概述了當今國際數學界對這一新數學課題和強有力數學研究方法NSA的某些評論。作者指出，NSA不僅解決了數百年來困擾數學家的問題即無窮小悖論，而且四十年來的歷史表明，這一新理論和新方法已帶來豐碩的套用成果。因此它是二十世紀的一項重要成就。展望二十一世紀，NSA有著廣闊的發展前途。至於標準方法（指通常的分析方法）和非標準方法之優劣比較，則應依據檢驗真理的唯一標準是實踐這一原則來評判。正如Hilbert的睿智見解，“成果是最高法院”。且不說迄今看不出可用標準方法來證明的非標準結果，即使持保守觀點，有人試圖用標準方法來取代非標準方法。人們不禁憶及Newton在其Principal（《原理》）中所說的，凡能用微積分證明的結果，也能藉助古典幾何學予以證實，這絕不能由此斷言微積分是沒有價值的。重要的是，以標準分析學取代NSA的結果是，喪失了NSA所固有的特徵，喪失了其豐富的創造源泉，生動的啟發意義，清晰的表達手段，直觀的美學特徵和深邃的洞察力量。
參考文獻
【1】現代無窮小分析導引，徐利治、孫廣潤（執筆）、董加禮著，大連理工大學出版社，1990年。本書獲得前國家教委《優秀著作獎》。
【2】評《非標準分析概論》一書，金治明（中國國防科技大學），曲阜師範大學學報（自然科學版）
【3】LST定理與模型論方法：兼評新著《非標準分析概論》,汪芳庭（中國科學技術大學數學系），洛陽大學學報，第10卷第二期，1995年6月。
【4】《非標準分析概論》一書的特色，劉廣雲、龍文庭等，哈爾濱師範大學自然科學版學報，1997年，第二期。
【5】一本頗具特色的非標準分析專著，董加禮（吉林工業大學套用數學系），《數學研究與評論》,1995年04期。
