霍赫希爾德同調

數學中，霍赫希爾德同調（Hochschild homology）是環上結合代數的同調論。對某些函子也有一個霍赫希爾德同調。這是以德國數學家格哈德·霍赫希爾德（Gerhard Hochschild）提出的。

基本介紹

• 中文名：霍赫希爾德同調
• 外文名：Hochschild homology
• 分類：環論、同調代數
• 領域：數理科學

代數的霍赫希爾德同調之定義

設 k 是一個環，A 是一個結合 k-代數，M 是一個 A-雙模。我們記為 A 在 k 上的 n 重張量積。給出霍赫希爾德同調的鏈復形是:

邊緣運算元定義為：

這裡對所有 1 ≤ i ≤ n，ai 屬於 A，而 m ∈ M。如果我們令

則 b ° b = 0，所以 (Cn(A,M), b) 是一個鏈復形，叫做霍赫希爾德復形，它的同調是 A 係數取 M 的霍赫希爾德同調。

映射 di 是使模 Cn(A,M) 成為 k-模範疇中的單純對象的面映射（face map），也就是一個函子 Δo → k-mod，這裡 Δ 是單純範疇（simplicial category）而 k-mod 是 k-模範疇。這裡 Δo 是 Δ 的反範疇。退化映射（degeneracy map）由 si(a0 ⊗ ··· ⊗ an) = a0 ⊗ ··· ai ⊗ 1 ⊗ ai+1 ⊗ ··· ⊗ an 定義。霍赫希爾德同調是這個單純模的同調。

函子的霍赫希爾德同調

單純圓周是有限帶基點集合範疇 Fin* 中一個單純對象，即一個函子 Δo → Fin*。從而，如果 F 是一個函子 F: Fin → k-mod，通過將 F 與 複合，我們得到一個單純模

這個單純模的同調是函子 F 的霍赫希爾德同調。如上交換代數的霍赫希爾德同調是當 F 是 Loday 函子的特例。

Loday 函子

有限帶基點集合範疇的一個骨架由對象

給出，這裡 0 是基點，而態射是保持基點的態射。令 A 是一個交換 k-代數，M 是一個對稱 A-雙模。Loday 函子 L(A,M) 作用在 Fin* 中的對象由

給出。態射

送到態射 f_*

這裡

而b_j= 1 如果f(j)=∅。

代數的霍赫希爾德同調之另一描述

一個交換代數A的係數取一個對稱A-雙模M的霍赫希爾德同調是與複合

相伴的同調，這個定義與上面的定義相同。