雷米茲算法

雷米茲算法，或稱雷米茲交換算法，由葉夫根尼·列維奇·雷米茲於1934年所發表。 雷米茲算法為一尋找函式簡易近似之疊代算法，特別是定義於切比雪夫空間的函式效果最佳。

一個在切比雪夫空間的典型例子是 n 次項切比雪夫多項式的子空間，屬於實數連續函式之向量空間，定義於 C[a, b] 區間。

給定一子空間，其最佳近似多項式的定義為：可將此近似多項式與原始函式之最大絕對差異最小化者。 在這個情況下，可由equioscillation theorem使其解更精確.

基本介紹

• 中文名：雷米茲演算法
• 外文名：Remez algorithm
• 分類：數理科學

程式

雷米茲算法由一函式f開始，欲近似一集合X，且在近似的區間上工有 個取樣點 ， 通常Chebyshev nodes可映射至該區間，步驟如下：

1. 解線性系統之等式
   

(其中 ),

對於未知的 及E。

使用 作為多項式 的係數。

找出集合M，為 之區域極大錯誤點。

若在 之中的所有 都是相同大小，僅正負號不同的話，則 為極小化極大近似之多項式。若否，則M取代X並重複上述步驟。

此結果稱為最佳近似多項式、切比雪夫近似、或最小化最大近似。

初始化選擇

由於切比雪夫節點在多項式插值理論中所扮演的腳色，故通常選擇其為初始近似的方法。由拉格朗日插值法L_n(f) 初始化一函式f之最佳化問題，可以證明此初始近似之邊界限制為:

其中節點 (t₁, ...,t_n+1) 之拉格朗日插值法運算元的常數為

T為切比雪夫多項式的零點，而

對提供次最佳之切比雪夫節點來說，其漸進線為

(γ為歐拉-馬歇羅尼常數)，

而上界為

Lev Brutman 計算出對 的邊界，而 為切比雪夫多項式之零點

Rüdiger Günttner由對 之較粗略的估算計算出

細節討論

在此將提供先前簡述步驟的詳細內容，在這個章節令指數i從 0 跑到n+1.

步驟 1:給定 , 求n+2 條等式之線性系統之解

(其中 ),

對於未知的 和E.

可以很清楚地觀察到，在這個式子裡 若要成立，只有在節點 為排序的情況下才能達到，無論是嚴格遞增或遞減。這樣一來這個線性系統便有唯一解。(廣為人知的，並非每個線性系統都可以求解)。 此外，求解之複雜度最少為 ，而一個從函式庫求解的標準計算器需要 的複雜度，在此有一簡單證明:

計算前n+1個節點之{\displaystyle f(x)}標準n階插值 ， 以及對於{\displaystyle (-1)^{i}}之標準n階插值

至此，需要 次數值運算。

在 與 之間，多項式 有其i-階 零點zero between ，因此在 與 之間無任何零點，意即 與 正負號 相同。

線性組合 亦為一n次多項式

選擇任何E，對 ，下列式子與上述等式相同:

解E得:

如前述所提及，上式分母之兩項有相同正負號，因此

是完整定義的。

給定n+2 階節點，其誤差為正負輪流:

de La Vallée Poussin理論說明在這種形況下，沒有誤差少於E之n次多項式存在。

步驟 2把多項式表示由 轉為 .

步驟 3依照以下所述改善輸入節點 的誤差{\displaystyle \pm E}。

在每個 P-領域，現在的節點 將被區域最大 取代，同樣在每個 N-領域， 將被區域最小取代， 在這部分並不要求高精確律。

令， 其大小 皆大於或等於E。de La Vallée Poussin理論及其證明也可以套用至 ， 而使此n次多項式有最小可能誤差的新下界為 。

步驟 4:分別以與 為新的上下界，此疊代算法的終止條件為: 重複上述步驟直到 足夠小且不再遞減。

變異

有時候在最大絕對差異點的附近，會有複數個點同時被取代。

有時候相對誤差會被用來衡量函式與其近似的差異，特別是在電腦上用浮點數做運算的函式。