零值定理為介值定理的推論.又名零點定理.其內容為：設函式f(x)在閉區間[a，b]上連續，且f(a)與 f(b)異號（即f(a)× f(b)<0），那么在開區間（a，b）內至少有函式f(x)的一個零點，即至少有一點ξ（a<ξ<b）使f(ξ)=0.
基本介紹
- 中文名：零值定理
- 外文名：Zero theorem
- 別稱：零點定理
- 類別：介值定理的推論
- 證明：閉區間套定理等
- 學科：數學
釋義,幾何意義,證明過程,定理套用,
釋義
零值定理為介值定理的推論.又名零點定理或勘根定理.其內容為：設函式f(x)在閉區間[a，b]上連續，且f(a)與 f(b)異號（即f(a)× f(b)<0），那么在開區間（a，b）內至少有函式f(x)的一個零點，即至少有一點ξ（a<ξ<b）使f(ξ)=0.
幾何意義
在[a,b]上連續的曲線，如果f(a)*f(b)<0，則此函式與X軸在[a，b]內至少相交於一點.
證明過程
不妨設f(a)<0，f(b)>0.令E={x|f(x)<0，x∈[a，b]}
由f(a)<0知E≠Φ，且b為E的一個上界，於是根據確界存在原理，存在ξ=supE∈[a，b].
下證f(ξ)=0（注意到f(a)≠0，f(b)≠0，故此時必有ξ∈(a，b)）.
事實上，
(i)若f(ξ)<0，則ξ∈[a，b).由函式連續的局部保號性知存在δ>0，對x1∈(ξ，ξ+δ)：f(x)<0→存在x1∈E：x1>supE，這與supE為E的上界矛盾；
(ii)若f(ξ)>0，則ξ∈(a，b].仍由函式連續的局部保號性知存在δ>0，對x1∈(ξ-δ，ξ)：f(x)>0→存在x1為E的一個上界，且x1<ξ這又與supE為E的最小上界矛盾.
綜合(i)(ii)，即推得f(ξ)=0.
我們還可以利用閉區間套定理來證明零點定理.
定理套用
該定理廣泛套用在二次函式根的分布習題中.
