離差平方和（Sum of Squares of Deviations）是各項與平均項之差的平方的總和。定義是設x是一個隨機變數，令η=x-Ex, 則 稱 η為x的離差，它反映了x與其數學期望Ex的偏離程度。
基本介紹
- 中文名：離差平方和
- 外文名：sums of squared deviations
- 套用範圍：統計學、經濟學
- 釋義：各項與平均項之差的平方的總和
基本定義,與方差的關係,樣本計算,平方和的分解,
基本定義
設x是一個隨機變數，令η=x-Ex, 則 稱 η為x的離差.它反映了x與其數學期望Ex的偏離程度.
與方差的關係
離差平方和與方差的關係
根據數學期望的性質，離差的數學期望總是等於0，沒有實用價值
通常用隨機變數x離差的平方的數學期望來描述隨機變數x的分布的分散程度，並把其稱為x的方差，記作Dx
樣本計算
離差平方和的樣本計算
一般用計算機計算。以excel為例：
先用Varp計算總體方差，然後
求出離差平方和
平方和的分解
通過對離差平方和的分解進行方差分析。統計學的實踐表明, 於某一特性量經過多次試驗的結果,一 般不會是同一數值, 是彼此有差異, 這種差異反映了這試驗受各種條件( 稱為因素) 制約. 離差平方和就反映了這種制約因素引起的差異大小. 為解決此問題, 英國統計學家Fisher提 出了方差分析的方法, 基本思想是將總的離差平方和分解為幾個部分, 每一部分反映了方差的一種來源, 然後利用F分布進行檢驗 .
離差平方和的分解類似於物理學的平行軸定理
單因素方差分析，離差平方和的分解：
其中
代表誤差平方和，
代表總離差平方和，
代表處理A的不同水平間的離差平方和
將所有數據用Varp求方差，
A的每個水平都有若干個數據，假設A有k個水平，對這k個組求各自的離差平方和，得到組內誤差：
各個組的誤差相加得到總的誤差平方和：
這是方差分析的第一步。
如果每個分組的數據一樣多，也可以這樣做：
求出每個組的平均值，對這些平均值求方差，再乘以N，得到
試想，如果每個分組只有一個數據，此時沒有組內平方和，所以
，分組平均值的離差平方和就是
。
對於兩因素無互動的方差分析（假設共有N個數據）
和單因素相同，求出
先按照A的水平分組，求出每個組的平均值，對這些平均值求方差，再乘以N，得到
同理得到
最後求
接下來的F檢驗參見方差分析。
可以藉助EXCEL 電子表格 SPSS、SAS進行方差分析.
