雙極圓柱坐標系

雙極圓柱坐標系(英語:Bipolar cylindrical coordinates)是一種三維正交坐標系。

基本介紹

  • 中文名:雙極圓柱坐標系
  • 外文名:Bipolar cylindrical coordinates
簡介,基本定義,坐標曲面,標度因子,套用,

簡介

雙極圓柱坐標系(英語:Bipolar cylindrical coordinates)是一種三維正交坐標系。往 z-軸方向延伸二維的雙極坐標系,則可得到雙極圓柱坐標系。雙極坐標系的兩個焦點
,其直角坐標(x, y) 分別設定為 (-a, 0) 與(a,0)。延伸至三維空間,這兩個焦點分別變成兩條直線,
稱為焦線

基本定義

雙極圓柱坐標
通常定義為
其中,點P的
坐標等於
的弧度,
坐標等於
的比例的自然對數
注意到焦線
的坐標分別為x=-a 與x=a。

坐標曲面

不同
的坐標曲面是一組不同圓心線,而相交於兩個焦線
的圓柱面:
它們的圓心線都包含於 yz-平面。正值
的圓柱面的圓心線都在y>0半空間;而負值
的圓柱面的圓心線則在y<0半空間。當絕對值
增加時,圓半徑會減小,圓心線會靠近原點。當圓心線包含原點時,
達到最大值
不同
的坐標曲面是一組圍著焦線,互不相交,不同半徑的圓柱面。半徑為
它們的圓心線都包含於 xz-平面。正值
的圓柱面在x>0半空間;而負值
的圓柱面在x<0半空間。
=0 平面則與 yz-平面同平面。當
值增加時,圓柱面的半徑會減少,圓心線會靠近焦點。

標度因子

雙極圓柱坐標
的標度因子相等;而 z 的標度因子是 1 :
所以,無窮小體積元素等於
其它微分運算元,例如
,都可以用雙極圓柱坐標表達,只需要將標度因子代入正交坐標系的一般方程式內。

套用

雙極圓柱坐標有一個經典的套用,這是在解析像拉普拉斯方程亥姆霍茲方程這類的偏微分方程式。在這些方程式里,雙極圓柱坐標允許分離變數法的使用。一個典型的例題是,有兩個互相平行的圓柱導體,請問其周圍的電場為什麼?套用雙極圓柱坐標,我們可以精緻地分析這例題。

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