雙曲面漸近錐面

雙曲面的漸近錐面(asymptotic conical surface of hyperboloid)是刻畫雙曲面形狀的錐面，由經過雙曲面中心的雙曲面的漸近線所組成的錐面。雙曲面族(x²/a²⁾+(y²/b²)-(z²/c²)=K(參數K≠0)有共同的漸近錐面(x²/a²)+(y²/b²)-(z²/c²)=0。

基本介紹

• 中文名：雙曲面的漸近錐面
• 外文名：asymptotic conical surface of hyperboloid
• 所屬學科：數學
• 所屬問題：空間解析幾何(曲面與空間曲線)
• 相關概念：二次錐面、雙曲面等

基本介紹

雙曲面(hyperboloid(surface))是指在通過主軸的平面上，截痕是雙曲線，而在與主軸垂直的平面上的截痕是橢圓的二次曲面。它分為單葉雙曲面和雙葉雙曲面，它們都關於三個相互垂直的平面中每一個平面對稱。

在平面幾何中，雙曲線有漸近線，相類似地，雙曲面也有漸近錐面。二次錐面是單葉雙曲面和雙葉雙曲面的漸近錐面。

二次錐面是雙曲面的漸近錐面

現在我們來考慮單葉雙曲面(1)和雙葉雙曲面(2)與二次錐面(3)。

單葉雙曲面

雙葉雙曲面

二次錐面

當它們有相同的正數a，b，c時，則它們有密切的關係。

用平行於坐標面的平面去截三個曲面。所得截線方程為

和

它們都是橢圓，具有相同的中心和對稱軸，並且曲面對應的半軸分別為

和

但它們的半軸的比相等

所以在平面z=h上截線橢圓的形狀相似，很明顯有。但當無限增大時，差趨於零。事實上

同理得

可見，當無限增大時，三個曲面無限接近。即單葉雙曲面和雙葉雙曲面都與二次錐面(3)無限接近，我們稱二次錐面(3)是雙曲面(1)和(2)的漸近錐面(圖1)。

圖1

例題解析

【例1】 用一族平行平面z=h(h為參數)截割單葉雙曲面得一族橢圓，求這些橢圓焦點的軌跡。

解：所截得的橢圓族方程為

即

因為，所以橢圓的長半軸為，短半軸為，從而橢圓焦點的坐標為

消去參數h得

顯然這族橢圓焦點的軌跡是一條在坐標面上的雙曲線。雙曲線的實軸為x軸，虛軸為z軸。