雅可比向量場

雅可比向量場(Jacobi vector field)簡稱雅可比場.黎曼幾何的一個基本概念.一類重要的向量場.它是沿測地線滿足雅可比方程的向量場.雅可比場是指黎曼流形M上沿一條測地線Y(t) (a<t毛b)定義的切向量場。

演算推論

I (t) E Ty}},M，滿足雅可比方程

其中R (X, Y) =DXD,.-D,.DX-D}X.,.:是黎曼流形M上的曲率運算元，D是沿測地線，的協變微商，即D一HJ四十3f'“’dt m I-I v;mu‘HJ VJ人V} I W’”“dtDr,u>.雅可比場的等價描述是:設a;}a,司X(一。，。)-> M是測地線段Y(t) (a毛t蕊b)的一個變分，若Y,,(t)=a(t,s)，則Y}=Y.若對於任意固定的‘E(一:,e),Y、是M中的測地線，則該變分a的變分向量場

是沿測地線y定義的雅可比場.取一個沿測地線y平行的單位正交標架場{E,(t>}，使得E(t)=Y' (t)其中n=dimM，假定t是測地線Y的弧長參數.若

其中K;(t)=(R(E}(t)，E；(t))E(t),E;(t))，這是二階線性常微分方程組，因此，沿測地線Y的雅可比場的全體構成一個2n維線性空間.雅可比場是研究測地線的大範圍性質的工具。