《隨機度量理論及其在隨機過程的動態風險中的套用》是依託中南大學，由郭鐵信擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：隨機度量理論及其在隨機過程的動態風險中的套用
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：郭鐵信
- 依託單位：中南大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
受我們在隨機度量理論及其對條件風險度量理論套用的最近工作的啟發，本項目進一步將金融工程與風險管理中所涉及的重要的無界隨機過程類通過合理構造納入到隨機賦范模的框架下，並研究這些隨機賦范模的隨機共軛表示，進而在其上給出動態風險度量的恰當定義，尤其研究其條件凸對偶表示與時間一致性問題。這些工作為無界隨機過程空間上的動態風險度量的研究開闢了一條全新的途徑。該項目所取得的結果不僅在金融工程與風險管理中有廣泛的套用價值，而且其內容和研究方法也體現了金融數學、隨機分析與隨機度量理論之間的內在聯繫與深度融合。
結題摘要
正如經典的凸分析是凸風險度量的分析基礎，隨機凸分析是條件或動態風險度量的分析基礎。本項目首先系統建立了隨機凸分析的基本理論——即隨機局部凸模中的Fenchel-Moreau的對偶性定理，連續性與次可微性定理。本項目所建立的隨機凸分不同於西方金融學者早期所建立的結果在於：我們更正了西方金融學者的基本錯誤，並在同時考慮隨機局部凸模的兩種拓撲下展開這一理論，所獲得的基本理論是歷史上第一個正確的版本，而且由於我們同時考慮了兩種拓撲並利用了兩種拓撲各自的優缺點，從而所獲得結果也是最徹底的。進一步考慮了迄今為止西方金融學者提出的三種條件風險度量的統一與擴張問題，證明了兩種基於向量空間途徑的條件風險度量都可以擴張為基於條件風險模途徑的條件風險度量，尤其證明了前兩種條件風險度量的條件凸對偶表示定理也可以看作條件風險模途徑中的條件凸對偶表示定理的特殊情況，從而統一了迄今為止的三種條件風險度量，這為利用條件風險模途徑統一研究條件風險度量奠定了基礎。由於Farkas引理與Minkowski-Weyl型定理都是凸分析與最佳化理論中的基本結果，它們對很多最佳化問題解的存在性以及求解算法都起著關鍵的作用，因此本項目的另一個重要工作就是在隨機局部凸模的框架下將這些經典結果隨機化，這一成果已被西方金融學者成功用於不完備市場的均衡定價理論的研究。熟知，Ekeland變分原理是非線性分析與非凸最佳化理論的有力工具，我們在本項目中也在完備隨機度量空間上建立了Ekeland變分原理的隨機化形式。隨機凸分析的建立完全依賴於隨機賦范模與隨機局部凸模的空間理論，因此我們也對隨機賦范模與隨機局部凸模的空間理論進行了深入的研究，將Banach空間著名的次自反定理與Bishop-Phelps定理均推廣到完備的隨機賦范模框架上。隨機凸分析的建立比經典凸分析要複雜與困難的多，其本質的原因是隨機局部凸模比通常的局部凸空間具有更為複雜的拓撲與代數結構，比如我們建立了隨機局部凸模的兩種隨機共軛空間的精確聯繫，這使隨機局部凸模中基本分離定理得以透徹研究的關鍵，在此基礎上我們也建立了隨機對偶系，尤其建立了隨機的雙極定理，並在此基礎上給出了隨機局部凸模在局部L^0-凸拓撲下為L^0-準桶模的特徵，這一特徵是連續性和次可微性定理建立的關鍵。由於本項目成功地建立了隨機凸分析理論並對相關的空間理論問題進行了透徹的研究，故更適於條件風險度量理論。
