坐標平面上任何包含原點的、面積大於4的、凸的、關於原點對稱的閉區域一定含有異於原點的整點就是閔可夫斯基定理。
基本介紹
- 中文名：閔可夫斯基定理
- 外文名：Minkowski theorem
- 套用學科：數學
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相關概念
在一個平面直角坐標系xOy中
整點：坐標分量都是整數的點，如(3,5)、(0,0)等等。
閉區域：用一條封閉曲線圍起來的部分。
凸區域：如果區域裡任何兩點的連線完全落在這個區域裡，就稱為凸的。
定理定義
坐標平面上任何包含原點的、面積大於4的、凸的、關於原點對稱的閉區域一定含有異於原點的整點
驗證推導
任取一個關於原點對稱且面積大於1的封閉凸圖形，一定存在兩點，使橫縱坐標之差為整數。
設其中一點坐標為(x0,y0)，另一點為(x0+k,y0+b)(k,b∈Z)，並且(x0,y0)、(x0+k,y0+b)都在圖形內。因圖形關於原點對稱，所以對於任意點(x,y)，若其在圖形中，則關於原點的對稱點(-x,-y)也在圖形中。所以(-x0-k,-y0-b)在圖形中。連線點(x0,y0)和點(-x0-k,-y0-b)，取中點((x0+(-x0-k))/2,(y0+(-y0-b))/2)，由圖形為凸區域知，中點在圖形內。將圖形以原點為位似中心，擴大兩倍。中點則為(k,b)，新圖形面積大於4，且中點是整點，位於圖形內。
對於任意一個滿足條件的圖形，都可以先縮小，找到中點後擴大，這樣一定有一異於原點的整點在圖形內，命題得證。
套用
閔可夫斯基定理是卡拉西奧多里定理對於緊凸集的精確化。
在有些文獻中，也把凸集分離定理稱為閔可夫斯基定理。
