共軛指數

數學上，若兩個實數p，q>1，且1/p+1/q=1 ，稱p，q為共軛指數（conjugate indices），一般定義q=∞為p=1的共軛指數。

基本介紹

• 中文名：共軛指數
• 外文名：conjugate indices
• 所屬學科：數學
• 套用：赫爾德不等式、對偶空間等

定義

若 ，且 ，稱 互為共軛指數。

相關套用及定理

引理1設 是一對共軛指數，則對任何正數A，B，有

等號僅當 時成立。

定理2設 是一對共軛指數， 是兩個有窮實數列，則有赫爾德不等式

對於非零數列 ，式中等號僅當 與 對應成比例時成立。

指數 時的赫爾德不等式

叫作柯西(Cauchy)不等式，從(2)式出發，讓 ，通過極限過程不難得到級數形式的赫爾德不等式

從基本(或二重)赫爾德不等式(2) 與(4)出發，可以得到多重赫爾德不等式。

定理3 設 是一組共軛指數，即 ，設 是 列實數(列長可以是有限數n，也可以是無窮)，則有多重赫爾德不等式

式中等號成立的條件是： 中存在某個列與其他各列分別對應成比例（比例係數可以不同）。

利用赫爾德不等式容易得到閔可夫斯基不等式:

定理4 設 是兩列實數，則有閔可夫斯基不等式

當數列 對應成非負比例時等號成立。

定義 設 互為共軛指數，根據赫爾德不等式，對於每個 ，則

定義了 上的一個線性泛函，且

定理5設 互為共軛指數，若 ，則

那么反過來呢? 即 上的任一線性連續泛函能否表示成為 的形式呢?回答是肯定的，這個結果就是Riesz表示定理：

定理6設 是 的開集， 互為共軛指數，若 ，則對 中的任一線性泛函G(即 )，一定存在唯一的函式 ，使得 ，且對任意 ，下式成立:

上述定理說明: 與 等距同構。

當 時，稱 是 的對偶空間。