一個集合閉合在某個運算或某些運算的蒐集下被稱為滿足閉包性質。閉包性質經常作為公理，通常叫做閉包公理。
注意現代集合論定義通常定義運算為在集合間的映射，所以向一個結構增加閉包作為公理是多餘的，儘管它對於子集是否閉合的問題仍有意義。
基本介紹
- 中文名：閉包公理
- 外文名：closure axioms
- 領域：數學
- 學科：圖論
- 性質：刻畫拓撲空間的公理系統
- 提出者：庫拉托夫斯基
概念,拓撲空間,閉包,人物簡介——庫拉托夫斯基,
概念
一個集合閉合在某個運算或某些運算的蒐集下被稱為滿足閉包性質。閉包性質經常作為公理，通常叫做閉包公理。
注意現代集合論定義通常定義運算為在集合間的映射，所以向一個結構增加閉包作為公理是多餘的，儘管它對於子集是否閉合的問題仍有意義。
閉包公理是刻畫拓撲空間的一種公理系統。設X為一非空集合，c是X的冪集到自身的映射，下列四個條件稱為閉包公理：
1.c(∅)=∅.
2.對於任意AX，有Ac(A).
3.對於任意A，BX，有
c(A∪B)=c(A)∪c(B).
4.對於任意AX，有c(c(A))=c(A).
滿足以上閉包公理的映射c稱為閉包運算元。這個公理系統是波蘭數學家庫拉托夫斯基(Kuratowski，K.)於1922年提出的。許多點集拓撲的著作套用閉包公理建立拓撲空間。
拓撲空間
拓撲空間是歐幾里得空間的一種推廣。給定任意一個集，在它的每一個點賦予一種確定的鄰域結構便構成一個拓撲空間。拓撲空間是一種抽象空間，這種抽象空間最早由法國數學家弗雷歇於1906年開始研究。1913年他考慮用鄰域定義空間，1914年德國數學家豪斯多夫給出正式定義。豪斯多夫把拓撲空間定義為一個集合，並使用了“鄰域”概念，根據這一概念建立了抽象空間的完整理論，後人稱他建立的這種拓撲空間為豪斯多夫空間(即現在的T2拓撲空間)。同時期的匈牙利數學家裡斯還從導集出發定義了拓撲空間。20世紀20年代，原蘇聯莫斯科學派的數學家П.С.亞里山德羅夫與烏雷松等人對緊與列緊空間理論進行了系統研究，並在距離化問題上有重要貢獻。1930年該學派的吉洪諾夫證明了緊空間的積空間的緊性，他還引進了拓撲空間的無窮乘積(吉洪諾夫乘積)和完全正規空間(吉洪諾夫空間)的概念。
20世紀30年代後，法國數學家又在拓撲空間方面做出新貢獻。1937年布爾巴基學派的主要成員H.嘉當引入“濾子”、“超濾”等重要概念，使得“收斂”的更本質的屬性顯示出來。韋伊提出一致性結構的概念，推廣了距離空間，還於1940年出版了《拓撲群的積分及其套用》一書。1944年迪厄多內引進雙緊緻空間，提出仿緊空間是緊空間的一種推廣。1945年弗雷歇又提出抽象距的概念，他的學生們進行了完整的研究。布爾巴基學派的《一般拓撲學》亦對拓撲空間理論進行了補充和總結。
此外，美國數學家斯通研究了剖分空間的可度量性，1948年證明了度量空間是仿緊的等結果。捷克數學家切赫建立起緊緻空間的包絡理論，為一般拓撲學提供了有力工具。他的著作《拓撲空間論》於1960年出版。近幾十年來拓撲空間理論仍在繼續發展，不斷取得新的成果。
閉包
圖論的一個基本概念。指由一個圖所派生出的另一個圖。具體地說，一個圖G的閉包H是指符合下列條件包含邊最少的圖：G是H的支撐子圖；對於H上任何兩不相鄰節點v和w，都有ρH(v)+ρH(w)<n，這裡n表示H的階，ρH(v)和ρH(w)分別表示圖H上節點v和w的次。所謂閉包運算，就是如下從圖G得到它的閉包的遞歸過程：連通圖G上任何一對不相鄰且滿足ρG(u)+ρG(v)≥n的節點u和v連一邊，這裡ρG(u)和ρG(v)分別表示u，v在G上的次，而n表示G的階；對所得的圖仍進行這種運算，直到得到這樣的圖H，對於任何一對不相鄰節點u和v均有ρH(u)+ρH(v)<n成立。奧爾(Ore，O.)於1961年證明：若一個連通的簡單圖G，對於任何兩個不相鄰的節點，它們的次之和不小於G的階，則G必為哈密頓圖。稱節點次之和特別是兩個節點次之和所滿足的條件為奧爾型條件。所謂一個圖G的k閉包，是指符合下列條件且包含邊最少的圖H：G是H的支撐子圖；對於H上任何兩不相鄰節點v和u，都有ρH(v)+ρH(u)<k，0<k≤2n-4。於是，n階圖的閉包就是n閉包。這種與閉包運算類似的求一個圖的k閉包的過程稱為k閉包運算。設P是n階圖上的某種性質。在一個n階圖G上的兩個不相鄰的節點u，v，它們次之和ρG(u)+ρG(v)≥k。若G+(u，v)(即在G上加一條新邊所得的圖)具有性質P可以導出G本身也具有性質P，則稱P是k穩定的。若P是k穩定，則從一個圖的k閉包具有性質P可以導出它本身也有性質P。具有哈密頓圈的性質是n穩定的。
人物簡介——庫拉托夫斯基
波蘭數學家。1896年2月2日生於華沙，1980年6月18日在華沙去世。就讀於蘇格蘭格拉斯哥大學和華沙大學，1927年獲華沙大學博士學位。同年任利沃夫工業大學教授，1943年任華沙大學教授。1945年成為波蘭研究院成員，1952年波蘭科學院一成立即成為院士。1946—1953年任波蘭數學會主席。1948—1967年任波蘭科學院數學研究所所長，後任科學委員會主席;1957—1968年任波蘭科學院副院長;1963—1966年任國際數學聯盟副主席。他是蘇聯科學院和奧地利等多家科學院的外籍院士，匈牙利、義大利等多家科學院名譽院士。他曾多年擔任《基礎數學》和《波蘭科學院通報》等雜誌的主編。
庫拉托夫斯基的研究工作涉及集合論、點集拓撲、單變數實變函式理論、圖論等領域。1922年，他藉助於閉包運算元給出了拓撲空間的一般定義。他是波蘭數學學派的重要人物之一，在點集拓撲領域有不少重要工作。他還和A·塔爾斯基一起研究過射影集合論與邏輯學之間的關係。1951年庫拉托夫斯基獲國家一等科學獎和公共教育部獎，1979年獲國家特別獎。他著有《拓撲學Ⅰ，Ⅱ》(TopologieⅠ，1933;Ⅱ，1950)、《集合論》(Set Theory，1952;與莫斯托夫斯基合作)、《集合論與拓撲引論》( Introductionto Set Theory and Topology，1955)和《半個世紀的波蘭數學》(A Half Century of Polish Mathematics， 1980)等。
