《重疊結構自相似集的若干問題研究》是依託深圳大學，由鄒玉茹擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：重疊結構自相似集的若干問題研究
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：鄒玉茹
- 依託單位：深圳大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
具有重疊結構的自相似集是近期分形幾何領域研究的熱點問題。本項目擬採用代數和幾何結合的方法對具有重疊結構自相似集的局部性質進行研究。具有重疊結構自相似集F中的點如果用N個（依賴於相似壓縮變換的個數）符號所生成的符號空間中的點來編碼，U表示只有唯一位置碼與之對應點的集合，M表示至少有兩個位置碼與之對應點的集合。我們擬對集合U和M進行研究，主要包括在這兩類集合的代數刻畫、分形維數；這兩類集合為自相似集的充要條件；分析集合U、M 和自相似集F基數之間的關係；在自相似集F勒貝格測度幾乎處處每個點都有不可數個位置碼條件下，研究點對應位置碼的增長率等。這些問題與實數非整數基表示、符號動力系統密切相關。因此本項目的研究工作將更深刻地認識具有重疊結構的分形集，同時也有助於實數非整數基表示論、符號動力系統中相關問題的深入研究，促進分支學科之間交叉與滲透，豐富它們的理論，發現新方法和套用。
結題摘要
具有重疊結構的自相似集是近期分形幾何領域研究的熱點問題. 本項目研究內容涉及到分形幾何理論和套用兩方面. 在分形幾何理論研究方面, 我們主要對有重疊結構的自相似集局部性質進行刻畫, 該自相似集與實數非整數基展開密切相連. 自相似不變集的重疊程度依賴於生成疊代函式系統的壓縮比和平移量等, 因此我們對實數非整數展開中的一類由壓縮比(或稱為基)構成的集合進行研究, 在這類基下存在不變集中的一個點具有固定個數的q-展開: (1)由基構成集合的拓撲結構, 在這類基下存在不變集中的一個點具有可數個q-展開; (2)確定由基構成集合的最小以及次小元素, 在這類基下存在不變集中的一個點具有固定個數的q-展開; (3)在不變集勒貝格測度幾乎處處每個點都有不可數個q-展開條件下, 研究由不變集中點所有q-展開組成集合的增長率、Hausdorff維數和集合基數之間的關係, 這些量反應了該類集合的複雜度; (4)研究平面上一類自仿集平移交的分形維數. 這些結論進一步深化了有重疊結構的自相似集中局部精細結構性質的研究. 在分形理論套用方面, 我們研究:(1)研究群對稱性分形集圖形的構造機制及繪製技術;(2)基於分形理論的圖像編碼(去噪).
