酉膨脹

酉膨脹是將某一希爾伯特空間上的運算元按一定條件膨脹為另一更大的希爾伯特空間上的酉運算元。

基本介紹

• 中文名：酉膨脹
• 外文名：unitary dilation
• 適用範圍：數理科學

簡介

酉膨脹是將某一希爾伯特空間上的運算元按一定條件膨脹為另一更大的希爾伯特空間上的酉運算元。

酉膨脹的數學形式是，是否存在希爾伯特空間H'⊃H，以及H'上酉運算元U，使得，其中P是H'到H上的正交投影。

如果存在如此的(H',U)，則稱(H',U)是T的酉膨脹。這樣的運算元T必定是壓縮運算元。

實例

復希爾伯特空間H上每個壓縮運算元T都存在酉膨脹，例如取H'= H⊕H,

除酉等價外壓縮運算元的酉膨脹是惟一的。

酉運算元

酉變換是泛函分析和運算元理論中的一個重要概念，傅立葉變換就是酉變換之一例。酉運算元又叫保范運算元，它是歐式空間中旋轉概念在無窮維情況下的推廣；希爾伯特空間的酉運算元是仍保持其內積意義的希爾伯特空間的線性變換。酉運算元具有逆運算元，其逆運算元也是一種酉運算元，且酉運算元和其逆運算元是一對共軛運算元。n階複方陣U的n個列向量是U空間的一個標準正交基，則U是U矩陣；一個簡單的充分必要判別準則是方陣U的轉置共扼距陣乘以U 等於單位陣，則U是U矩陣。

壓縮運算元

壓縮運算元是對任何點的範數都不放大的一類線性運算元，又稱為收縮運算元。收縮運算元在研究微分方程不動點理論和計算方法中的一類疊代算法的誤差估計起重要作用。

設X,Y是賦范線性空間，T是X到Y的線性運算元，如果對一切x∈X，滿足||Tx||≤||x||，則稱T收縮運算元或壓縮運算元。

T是收縮運算元的充分必要條件是T的範數||T||≤1。