遍歷性

在電力運行、機械加工、大規模的勞動組織等生產過程中，常常會遇到這樣的情況，即不管系統的初始狀態如何，在經歷了一段時問以後，系統就會處於統計平衡狀態(Statistical Equilibrium)，這種情況就是數學中所謂的遍歷性問題，遍歷性問題是馬氏鏈理論的一個重要部分。

基本介紹

• 中文名：遍歷性
• 外文名：ergodicity
• 所屬學科：數學
• 屬性：馬氏鏈理論的一個重要部分

定義

設 為齊次馬氏鏈 的k步轉移機率，如果對一切i,j,存在不依賴於i的極限 則稱馬氏鏈 具有遍歷性，若 構成一個機率分布，則稱該馬氏鏈存在著極限分布 。

遍歷定理

定理1

對於有限狀態齊次馬氏鏈，如果存在正整數s,並且對所有的 都有成立，則該馬氏鏈必具有遍歷性，且式 中的 即為極限分布，它的方程組滿足條件 ， 的唯一解。

定理2

不可約非周期的可列狀態其次馬氏鏈存在平穩分布的充要條件是，這個鏈的所有狀態都是正常返的，且這時極限分布是唯一的平穩分布。

例題分析

1．在一計算機系統中，每一循環具有誤差的機率取決於先前一個循環是否有誤差。以0表示誤差狀態，以1表示無誤差狀態，且狀態的一步轉移機率矩陣為

試說明相應齊次馬爾可夫鏈是遍歷的，並求其平穩分布：

(1)用定義解；

(2)引用遍歷性定理解。

解：

（1）因為

由定義知，此鏈具有遍歷性，其穩態機率為

（2）由定理知因為的腹元均大於0，故此鏈具有遍歷性，且其穩態機率滿足等式

解得 ，即平穩分布 。

2. 設齊次馬爾可夫鏈的一步轉移機率矩陣為

證此鏈不是遍歷的。

解：因為

故對於任意的n， ，且 ，故此鏈不是遍歷的。