將行列式D行的項轉為列的項成為行列式DT
則行列式DT稱為行列式D的轉置行列式
即行列式D行與列對換得到的新行列式DT
例如D第一行為a11、a12、a13···a1n
而DT第一行為a11、a21、a31···an1
基本介紹
- 中文名：轉置行列式
- 外文名：transposed determinant
- 相關詞條：轉置矩陣
性質
行列式與它的轉置行列式相等
用途
此性質說明行列式中行和列的地位相等，行列式中對於行成立的性質對列也同樣成立，反之亦然。
證明
記
的轉置行列式
，
即
的
元為
，則
，按定義
下證
對於行列式
的任一項
其中
為標準排列，
為排列
的逆序數，對換元素
與
成
這時，這一項的值不變，而行標排列與列標排列同時作了一次相應的對換。
設新的行標排列
的逆序數為
，則 為奇數；設新的列標排列
的逆序數為
，則
故
於是
這就表明，對換乘積中兩元素的次序，從而行標排列與列標排列同時作了相應的對換，則行標排列與列標排列的逆序數之和並不改變奇偶性.經一次對換是如此，經多次對換當然還是如此。於是，經過若干次對換，使
列標排列
（n 逆序數為t)變為標準排列（逆序數為0）；
行標排列則相應地從標準排列變為某個新的排列，設此新排列為
，其逆序數為s，則有
又，如果上式左邊乘積的第
個元素 為
，那么它必定是上式右邊乘積的第
個元素，即
，可見排列 由排列所惟一確定。
綜上可知:對於中任一項
總有且僅有中的某一項
與之對應並相等，反之，對於中的任一項也總有且僅有中的某一項與之對應並相等，於是與中的項可以一一對應並相等，從而
