超越運算

超運算（或稱為超越運算）一般來說指的是超運算序列（數學中一種二元運算的序列）的前三項分別為加法、乘法、冪，除了序列中第一項的加法運算之外，序列中每一項的運算都是重複的前一項的運算。

基本介紹

• 中文名：超越運算
• 外文名：Hyperoperation
• 學科：數學

定義

超運算序列是定義在自然數集上的一個序列，記為。前幾項為加法（n=1）、乘法（n=2）和冪（n=3）。高階超運算的參數與冪運算相似，即a稱為底數，b稱為指數（或稱超指數），而n則稱為階數。

用高德納箭號表示法可以將超運算定義為

注意到，對於序列的前三項有：

通過這樣的遞歸能夠定義出高階運算，從而輸入很小的數就可以產生非常大的數。

其實，某一超運算就是一種基於低一階超運算而進行數的複合的方法。我們可以以加法、乘法與冪的概念為例來說明。加法運算就是將指定次數的1加到原本的數上從而得到最終的結果（如2+3是將1三次加到2上），乘法運算就是將指定次數的某數通加（如就是3個2相加），冪運算則是將指定次數的某數通乘（如就是3個2相乘）。

歷史

1914年，阿爾伯特·貝內特（Albert Bennett）最早提出了超運算，他發展出了一套交換超運算（見下文）的理論。12年之後，威廉·阿克曼定義了函式，和超運算序列已經有了某種程度上的相似。最早的使用三個自變數的阿克曼函式使用了同樣的遞歸法則，但有兩點與現在的超運算不同。一是它定義了時為加法、時為乘法、時為冪運算，二是由其對初始條件的定義能得到，最後的運算結果與超運算不同。

1947年，魯賓·古德斯坦提出現在所使用的超運算序列，只是那時他使用記號來表示，而非今天的。在1947年的論文中，古德斯坦還引進了冪運算之後超運算的英文名稱，即tetration、pentation、hexation等。