費馬數

費馬數是以數學家費馬命名的一組自然數，法國數學家費馬對n=0,1, 2, 3, 4的情形做了檢驗，發現這組費馬公式得到的數都是素數。

基本介紹

• 中文名：費馬數
• 外文名：fermat number
• 分類：數學
• 提出：費馬
• 時間：1640年
• 地區：法國

定義

費馬數是以數學家費馬命名一組自然數，具有形式( )記為F_n，F_n即為費馬數。其中n為非負整數。若2n + 1 是素數，可以得到n必須是2的冪。也就是說，所有具有形式 2n + 1 的素數必然是費馬數，這些素數稱為費馬素數。已知的費馬素數只有至五個。

由來

法國數學家費馬於1640年提出了以下猜想：

揭示了十進制和二進制的關係

可以發現

前5個是質數，因為第6個數實在太大了，費馬認為這個數是質數。

費馬數

由此提出（費馬沒給出證明），形如 的數都是質數的猜想。後來人們就把形如 的數叫費馬數。

猜想結論

1732年，歐拉算出F₅=641×6700417，也就是說F5不是質數，宣布了費馬的這個猜想不成立，它不能作為一個求質數的公式。以後，人們又陸續找到了不少反例，如n=6 時，F₆= =274177×67280421310721不是質數。至今這樣的反例共找到了243個，卻還沒有找到第6個正面的例子，也就是說只有n=0，1，2，3，4這5個情況下，F_n才是質數。幾個費馬數的分解情況是：

F₆ = 274177 × 67280421310721

F₇ = 59649589127497217 × 5704689200685129054721

F₈ = 1238926361552897 ×93461639715357977769163558199606896584051237541638188580280321

F₉ = 2424833 × 7455602825647884208337395736200454918783366342657 ×74164006262753080152 47871419019374740599407810975190239058213 161444157 59504705008092818711693940737

F₁₀ = 45592577 × 6487031809 × 4659775785220018543264560743076778、192897 × P252

F₁₁ = 319489 × 974849 × 167988556341760475137 × 3560841906445833920513 × P564

F₁₂ = 114689 × 26017793 × 63766529 × 190274191361 × 12561 32134125569 ×

568630647535356955169033410940867804839360742060818433 × C1133

F₁₃ = 2710954639361 × 2663848877152141313 × 3603109844542291969 ×

319546020820551643220672513 × C2391

早已經有人證明，費馬數的因數必然是2ⁿ⁺²*k+1 形。例如n=5時，4294967297=（128×5+1）×（128×52347+1），其中128就是2的7次方。

性質

任意兩個費馬數都互質。

證明如下：設m>n, ，而 = = =……= ，所以 整除 。根據輾轉相除的原理， ，所以任意兩個費馬數都互質。

費馬數滿足以下的遞迴關係：

其中n ≥ 2。這些等式都可以用數學歸納法推出。從最後一個等式中，我們可以推出哥德巴赫定理：任何兩個費馬數都沒有大於1的公因子。要推出這個，我們需要假設 0 ≤ i < j 且 F_i 和 F_j 有一個公因子 a > 1。那么 a 能把 和F_j都整除；則a能整除它們相減的差。因為a > 1，這使得a = 2。造成矛盾。因為所有的費馬數顯然是奇數。作為一個推論，我們得到素數個數無窮的又一個證明。

其他性質：

• F_n的位數D(n,b)可以表示成以b 為基數就是
  

(參見高斯函式).

• 除了F₁ = 2 + 3以外沒有費馬數可以表示成兩個素數的和。
  
• 當p是奇素數的時候，沒有費馬數可以表示成兩個數的p次方相減的形式。
  
• 除了F₀和F₁，費馬數的最後一位是7。
  
• 所有費馬數（OEIS中的數列A051158）的倒數之和是無理數。
  

普遍公式

實際上幾千年來，數學家們一直在尋找這樣的一個公式，一個能求出所有質數的公式；但直到現在，誰也未能找到這樣一個公式，而且誰也未能找到證據，說這樣的公式就一定不存在；這樣的公式存不存在，也就成了一個著名的數學難題。參見中文百科“素數普遍公式”和“孿生素數普遍公式”。那裡有可以構造一切素數的普遍公式。

雖然費馬數作為一個關於質數公式的嘗試失敗了，但有意思的是，1801年數學家高斯證明：如果費馬數k為質數，那么就可以用直尺和圓規將圓周k等分.但是，高斯本人實際上並不會做正十七邊形。第一個真正的正十七邊形尺規作圖法直到1825年才由約翰尼斯·厄欽格（Johannes Erchinger）給出.

具體形式

費馬數是以數學家費馬命名一組自然數，具有形式：

其中 n 為非負整數。

若 2ⁿ + 1 是素數，可以得到 n 必須是2的冪。（若 n = ab，其中 1 < a,b < n 且 b 為奇數，則 2ⁿ + 1 ≡ (2^a)^b + 1 ≡ (-1)^b + 1 ≡ 0 （mod 2^a + 1）。）也就是說，所有具有形式 2ⁿ + 1 的素數必然是費馬數，這些素數稱為費馬素數。已知的費馬素數只有 F₀ 至 F₄ 五個。

猜想

1640年，在數論領域留下不可磨滅足跡的費馬思考了一個問題：式子 的值是否一定為素數。當 n取0、1、2、3、4時，這個式子對應值分別為3、5、17、257、65537，費馬發現這五個數都是素數。由此，費馬提出一個猜想：形如 的數一定為素數。在給朋友的一封信中，費馬寫道：“我已經發現形如 的數永遠為素數。很久以前我就向分析學家們指出了這個結論是正確的。”費馬同時坦白承認，他自己未能找到一個完全的證明。

費馬所研究的 這種具有美妙形式的數，後人稱之為費馬數，並用Fn 表示。費馬當時的猜想相當於說：所有費馬數都一定是素數。費馬是正確的嗎？

進一步驗證費馬的猜想並不容易。因為隨著n的增大， F_n 迅速增大。比如對後人來說第一個需要檢驗的F₅　=4294967297已經是一個十位數了。非常可能的是，由於這一數太大，所以費馬在得出自己的猜想時並沒有對它進行驗證。那么，它到底是否如同費馬所相信的那樣是一個素數呢？

1729年12月1日，哥德巴赫（哥德巴赫猜想的提出者）在寫給歐拉的一封信中問道：“費馬認為所有形如 的數都是素數，你知道這個問題嗎？他說他沒能作出證明。據我所知，也沒有其他任何人對這個問題作出過證明。”

這個問題吸引了歐拉。1732年，年僅25歲的歐拉在費馬死後67年得出F₅ =641×6700417，其中641=5×2⁷+1 這一結果意味著F₅ 是一個合數，因此費馬的猜想是錯的。

在對費馬數的研究上，費馬這位偉大的數論天才過分看重自己的直覺，輕率地做出了他一生唯一一次錯誤猜測。更為不幸的是，研究的進展表明費馬不但是錯的，而且非常可能是大錯特錯了。

此後人們對更多的費馬數進行了研究。隨著電子計算機的發展，計算機成為數學家研究費馬數的有力工具。但即使如此，在所知的費馬數中竟然沒有再添加一個費馬素數。迄今為止，費馬素數除了被費馬本人所證實的那五個外沒有再發現一個。

變形

變形費馬數是改變了數值，採用同樣性質的費馬數，例如： 。

n=0時， ，素數；

n=1時， ，素數；

n=2時， ，素數；

n=3時， ，素數；

n=4時， 合數。

目前僅知道n=0，1，2，3，4，費馬數都是素數，而n為其他正整數時，所發現的費馬數均為合數。