譜集

複平面上正則點全體記為ρ(T),ρ(T)的余集C\ρ(T)稱為T的譜集,簡稱譜,記為σ(T')或Sρ(T)。

基本介紹

  • 中文名:譜集
  • 外文名:spectrum
  • 適用範圍數理科學
簡介,正則集,定義,性質,套用,

簡介

正則集

設X是復賦范線性空間,T是X到X的線性運算元,D(T)是T的定義域,λ是複數。如果λI-T是正則運算元,即使(XI-T)是在整個X上有定義的有界線性運算元,則稱λ是T的正則點。複平面上正則點全體記為ρ(T),稱為T的正則集或預解集。

定義

ρ(T)的余集C\ρ(T)稱為T的譜集,簡稱譜,記為σ(T')或Sρ(T)。

性質

當X是巴拿赫空間時,任何線性運算元的正則集都是開集。進一步,當T'是有界時,ρ(T)和σ(T)都是非空的。
線性運算元T的特徵值也稱為點譜,其全體記為σp(T)。如果存在單位向量序列{xn},使得
則稱λ是近似點譜,其全體記為σa(T)。
如果λl-T是一對一且值域稠密,則稱λ是連續譜點,其全體記為σe(T)。
如果λ不是特徵值,λI-T的值域也不稠密,則稱λ為T的剩餘譜點,其全體記為σr(T)(也有的文獻定義“剩餘譜”為σ(T)\σa(T))。顯然,σp(T),σe(T)和σr(T)互不相交,σ(T) = σp(T)∪σe(T)∪σr(T)。
當X是巴拿赫空間時,還有∂σ(T)⊂σa(T),這裡∂σ表示σ的邊界。

套用

在無限維空間,譜是較矩陣特徵值更廣泛的概念。
一般特徵值只是譜的一部分(點譜)。只有線性運算元的譜理論的建立才能完全解決力學、物理和工程技術中所出現的大量的線性方程求解問題。

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