譜集

複平面上正則點全體記為ρ(T)，ρ(T)的余集C\ρ(T)稱為T的譜集，簡稱譜，記為σ(T')或Sρ(T)。

基本介紹

• 中文名：譜集
• 外文名：spectrum
• 適用範圍：數理科學

簡介

正則集

設X是復賦范線性空間，T是X到X的線性運算元，D(T)是T的定義域，λ是複數。如果λI-T是正則運算元，即使(XI-T)^-1是在整個X上有定義的有界線性運算元，則稱λ是T的正則點。複平面上正則點全體記為ρ(T)，稱為T的正則集或預解集。

定義

ρ(T)的余集C\ρ(T)稱為T的譜集，簡稱譜，記為σ(T')或Sρ(T)。

性質

當X是巴拿赫空間時，任何線性運算元的正則集都是開集。進一步，當T'是有界時，ρ(T)和σ(T)都是非空的。

線性運算元T的特徵值也稱為點譜，其全體記為σ_p(T)。如果存在單位向量序列{x_n}，使得

則稱λ是近似點譜，其全體記為σ_a(T)。

如果λl-T是一對一且值域稠密，則稱λ是連續譜點，其全體記為σ_e(T)。

如果λ不是特徵值，λI-T的值域也不稠密，則稱λ為T的剩餘譜點，其全體記為σ_r(T)（也有的文獻定義“剩餘譜”為σ(T)\σ_a(T)）。顯然,σ_p(T),σ_e(T)和σ_r(T)互不相交，σ(T) = σ_p(T)∪σ_e(T)∪σ_r(T)。

當X是巴拿赫空間時，還有∂σ(T)⊂σ_a(T)，這裡∂σ表示σ的邊界。

套用

在無限維空間，譜是較矩陣特徵值更廣泛的概念。

一般特徵值只是譜的一部分（點譜）。只有線性運算元的譜理論的建立才能完全解決力學、物理和工程技術中所出現的大量的線性方程求解問題。