基本介紹
- 中文名：諧波小波轉換
- 外文名：Harmonic Wavelet Transform
- 領域：信號處理
- 定義：以小波為基底的線性轉換
- 結合：短時距傅立葉變換和連續小波轉換
- 提出時間 ：1993年
基礎推理,一系列的諧波小波,低頻頻帶與正交,短時距傅立葉變換與連續小波轉換,
基礎推理
考量一個偶對稱的實數函式
，其傅立葉變換定義為：
則透過反傅立葉變換，我們可以得到該函式 {\displaystyle w_{e}(x)} {\displaystyle w_{e}(x)}為：
而考量另一奇對稱的函式
，若定義其傅立葉變換為：
則其反傅立葉變換會得到為：
假如結合
和，透過 
的關係，我們會得到一複數函式，並定義它為諧波小波（Harmonic Wavelet）。本諧波小波將為以下數學形式：
也由於傅立葉轉換的特性和
}， 
的定義，諧波小波的傅立葉轉換對為：
一系列的諧波小波
接著，考量到小波轉換中的精神－－母小波的縮放（Dilation）和平移，透過伸張方程式（Dilation Equation）我們可以寫出一系列的諧波小波（其中
和
皆為整數）：
根據前文對
的定義，或是透過直接計算傅立葉轉換對，我們也可以得到縮放和平移後的一系列諧波小波在頻域上的表示法：
而若我們將不同的正整數帶入上式，例如
和 
，我們會發現後者的振幅會是前者的一半，然而其頻頻寬會是前者的兩倍。這樣的特性使得每一階（Level，對應到不同的）的諧波小波，其頻域將隨著階數越高而越寬，由是達到多解析度的效果。
低頻頻帶與正交
隨著 的階數比0越來越小，頻帶的振幅將越來越高、越來越窄，一路向頻率為0的位置延伸。而根據多解析度分析的理論，我們可以將這些階數小於0的頻帶全部收為一個頻帶，並定義為-1階（
）。它涵蓋了DC到 
的頻帶範圍。以小波轉換的術語來說，這樣具低通濾波性質的函式，被稱之為縮放函式（Scaling Function），又稱為父小波（Father Wavelet）。諧波小波的縮放函式定義為：
若要證明諧波小波有正交的特性，必須分兩個層次討論，（不同階的諧波小波）和 （不同位移量）。首先討論不同階的諧波小波。根據傅立葉理論，若兩任意階數的諧波小波正交，它將有下列關係（參考David Newland，1993）：
因為任意階數之諧波小波其頻譜皆分布在正頻率軸，故 
永遠為0。我們還必須證明下式也成立：
而因為不同階數之諧波小波其頻帶不相交，故上式的右式也為0，由是證明不同階數諧波小波的正交特性。至於同階數、不同位移量的諧波小波，因為傅立葉變換的特性，在時域的位移相當於在頻域的訊號必須乘上一個線性相位，因此對位移之諧波小波來說，必須滿足下式：
當k不為0的時候，上式將會成立。換言之，當具有位移存在時，諧波小波正交的特質成立。最後，我們也可以用相似的證明方式，證明諧波小波之父小波也具有正交特性。
短時距傅立葉變換與連續小波轉換
短時距傅立葉變換是傅立葉變換的一種變形，用於決定隨時間變化的信號局部部分的正弦頻率和相位。實際上，計算短時傅立葉變換(STFT)的過程是將長時間信號分成數個較短的等長信號，然後再分別計算每個較短段的傅立葉變換。通常拿來描繪頻域與時域上的變化，為時頻分析中其中一個重要的工具。
連續小波轉換(Continuous Wavelet Transform)是一種用來分解一個連續時間函式，使它變成數個小波(wavelet)。跟傅立葉變換(Fourier Transform)不一樣的是，連續小波轉換可以建構一個具有良好時域和頻域局部化的時頻訊號。以數學來說，一個有連續時間性質且可積分的函式
可以用下面的積分來表示
