誘導同態

誘導同態是線性映射在張量代數上的開拓。誘導同態滿足的自然性，是同倫群的一個重要性質。

基本介紹

• 中文名：誘導同態
• 外文名：induced homomorphism
• 適用範圍：數理科學

定義介紹

任意一個帶基點的空間之間的映射在同倫群上有誘導同態 ，它滿足以下性質：如果還有映射，則。

誘導同態滿足的這個性質稱為是自然性，這是同倫群的一個重要性質。

同倫群

[homotopy group]

設 X 是一個帶基點拓撲空間， 是 X 上保基點點閉道路空間，其基點是取值於基點的常值道路。歸納定義。

定義

由於是 H 空間，而 H 空間的基本群是交換群，因而當 時， 交換群。

中的元素可用 n 維球面到 X 的映射作代表。這個映射作用在這個 n 維球面道基本類上給出 X 的 n 維同調到一個元素。從而給出群同態，稱為胡雷維奇同態：

關於同倫群的第一個一般結構是所謂的胡雷維奇定理：如果 X 是 連通的且，則 是同構。另一個重要的一般結果是弗羅伊登塔尓（Freudenthal）維懸定理：當 時,有。

CW 復形的同倫群具有很好的性質：CW 復形間的連續映射 是同倫等價若且唯若它是弱同倫等價。從一個拓撲空間 X 到拓撲空間 Y 的一個映射稱為弱同倫等價(weak homotopy equivalence) 如果對任意的 是同構。

基本群的定義是龐加萊在1895 年提出的。此後很多人想到過高維的推廣，這些人中包括: 亞歷山大、切赫、德恩等。但都因為初步性質過於簡單以為不能導致深刻結果而被放棄。第一個正式的定義是胡雷維奇在1935 年莫斯科國際拓撲會議上提出的。除可縮空間外，最簡單的空間就是球面 。胡雷維奇定理給出了第二個同倫群，其實在同倫群的定義被提出之前，霍普夫早在1930 年就本質上算出了 的第三個同倫群。很明顯同調論不足以區分這個群中的同倫類。但是同倫群並未因此馬上被提出，這是值得深思的事情。20 世紀50年代初，嘉當、塞爾等利用纖維化的[上] 同調譜序列，提出了研究同倫群的新方法並取得了球面同倫群計算的突破性進展。此後包括同倫群研究的同倫論成為數學的中心研究領域之一併在許多領域獲得重要套用。