西摩松線

有關背景

一個數學史上的錯誤，就是將1797年瓦倫斯（William Wallace, 1768-1843) 的發現歸功於另一個數學家西摩松（Robert Simson, 1687-1768）。這個發現就是現在大家所熟知的西摩松線（Simson’s line）。

三角形外接圓上一點作三邊的垂線，則其三垂足共線，此線稱為西摩松線按照以下的指示，畫出西摩松線。

1．畫一個圓及圓內接三角形ABC。

2．在圓周上任選一點P。

3．分別畫出垂直於AB、BC、AC的線段PX、PY、PZ。

4．將X、Y、Z三點連起來，此線即為西摩松線。

已知：ΔABC外接圓上有一點P，過P向三邊所在直線作垂線，垂足分別是X、Y、Z，

求證：X、Y、Z三點共線。

證明：如圖，連線PB、PC

因為∠AYP=∠BXP=90°

所以A、Y、P、X四點共圓

所以∠AYX=∠APX

同理C、Z、Y、P四點也共圓

所以∠ZYC=∠CPZ

在ΔAXP和ΔCZP中

∠BXP=90°=∠CZP，∠PAX=∠PCZ

所以∠APX=∠ZPC

所以∠AYX=∠ZYC

因為∠AYX+∠XYC=180°

所以∠ZYC+∠XYC=180°

所以X、Y、Z三點在同一條直線上