鏡像線出現在關於幾個點共線的問題中。△ABC的外接圓上的點P關於邊BC，CA，AB的對稱點X，Y，Z和△ABC的垂心H在同一條直線上，這條直線稱為點是關於△ABC的鏡像線。
基本介紹
- 中文名：鏡像線
- 外文名：mirrorimage line
- 適用範圍：數理科學
簡介,出處,證明,
簡介
鏡像線出現在關於幾個點共線的問題中。
△ABC的外接圓上的點P關於邊BC，CA，AB的對稱點X，Y，Z和△ABC的垂心H在同一條直線上，這條直線稱為點是關於△ABC的鏡像線（如圖所示）。
圖1出處
史坦納定理是幾何中的有名定理，其內容是：設△ABC的垂心為H，其外接圓上的任一點為P，△ABC關於點P的西摩松線通過線段PH的中點。
史坦納定理的推論是：△ABC外接圓上的一點P的關於邊BC、CA、AB的對稱點和△ABC的垂心H在同一條直線上，該直線叫△ABC關於點P的鏡像線。故鏡像線是由史坦納定理的套用定理得出。
證明
如圖，EFG是D關於△ABC的西姆松線，由對稱性，易知EF、EG分別是△DPR和△DRQ的中位線，所以PQR三點共線。
由對稱性和垂心性質可知∠BPC=∠BDC=∠BAC=180°-∠BHC，所以B、P、C、H四點共圓；同理A、Q、C、H四點共圓，A、B、R、H四點共圓。
所以∠CHP+∠CHQ=∠CAD+∠CBD=180°，所以H在直線PQ上。
又由中位線性質，可知D關於△ABC的西姆松線過DH中點。
圖2