行階梯形矩陣

階梯形矩陣

形如

的矩陣稱為行階梯形矩陣，簡稱階梯型矩陣。其特點為：每個階梯只有一行；元素不全為零的行（非零行）的第一個非零元素所在列的下標隨著行標的增大而嚴格增大（列標一定不小於行標）；元素全為零的行（如果有的話）必在矩陣的最下面幾行。

例如

均為階梯形矩陣。

在階梯形矩陣中，若非零行的第一個非零元素全是1，且非零行的第一個元素1所在列的其餘元素全為零，就稱該矩陣為行最簡形矩陣。

例如矩陣

在最簡形矩陣中，非零行有且只有一個非零元素且為1，則稱該矩陣為標準形矩陣。

例如矩陣

下列三種變換稱為矩陣的行初等變換：

（1）對調兩行；

（2）以非零數k乘以某一行的所有元素；

（3）把某一行所有元素的k倍加到另一行對應元素上去。

將定義中的“行”換成“列”，即得到矩陣的初等列變換的定義。矩陣的初等行變換與矩陣的初等列變換，統稱為矩陣的初等變換。

有如下定理成立：

（1）任一矩陣可經過有限次初等行變換化成階梯形矩陣；

（2）任一矩陣可經過有限次初等行變換化成行最簡形矩陣；

（3）矩陣在經過初等行變換化為最簡形矩陣後，再經過初等列變換，還可以化為最簡形矩陣，因此，任一矩陣可經過有限次初等變換化成標準形矩陣。

行階梯形的結果並不是唯一的。例如，行階梯形乘以一個標量係數仍然是行階梯形。但是，可以證明一個矩陣的化簡後的行階梯形是唯一的。