莫雷角三分線定理，即任意△ABC每兩個內角相鄰的三等分角線的交點構成正△DEF.
基本介紹
- 中文名：莫雷角三分線定理
- 提出者：莫利
- 套用學科：數學幾何
- 適用領域範圍：平面幾何
定理定義,驗證推導,
定理定義
將三角形的三個內角三等分，靠近某邊的兩條三分角線相交得到一個交點，則這樣的三個交點可以構成一個正三角形。
驗證推導
設△ABC中，AQ,AR,BR,BP,CP,CQ為各角的三等分線，三邊長為a,b,c,三內角為3α，3β，3γ，則α+β+γ=60°。
在△ABC中，由正弦定理，得AF=csinβ/sin(α+β)。
不失一般性，△ABC外接圓直徑為1，則由正弦定理，知c=sin3γ，所以AF=
（sin3γ*sinβ）/sin(60°-γ)=[sinβ*sinγ(3-4sin2γ)]/[1/2(√3cosγ-sinγ)]=
2sinβsinγ（√3cosγ+sinγ）=4sinβsinγsin（60°+γ）.
同理,AE=4sinβsinγsin(60°+β)
∴AF:AE=[4sinβsinγsin(60°+γ)]：[4sinβsinγsin(60°+β)]=sin(60°+γ):sin(60°+β)=sin∠AEF:sin∠AFE
∴∠AEF=60°+γ,∠AFE=60°+β.同理得，CED=60°+α
FED=180°-CED-(AEF-α-γ)=180°-60°-α-60°+α=60
∴△FED為正三角形。
