舒爾正交關係

舒爾正交關係（Schur orthogonality relations）描述了有限群表示中的核心事實。它可以推廣到一般的緊群，特別是緊李群，比如旋轉群 SO(3)。此關係可藉由舒爾引理證明。

基本介紹

• 中文名：舒爾正交關係
• 外文名：Schur orthogonality relations
• 分類：群表示論
• 領域：數理科學

有限群

令是一個 |G| 階（即 G 有 |G| 個元素）有限群，的一個不可約矩陣表示的矩陣元素。因為可以證明任何有限群的不可約矩陣表示等價於一個酉表示，我們假設 是酉的：

這裡是表示的（有限）維數。正交關係，只對不可約表示的矩陣元素成立，是

這裡是的復共軛，求和遍及 G 的所有元素。如果兩個矩陣是在同一個不可約表示，則克羅內克函式是單位，如果與不等價則為零。其他兩個克羅內克函式則要求行與列的指標必須相等（和）才能得到一個非零的結果。這個定義也叫做廣義正交定理。

每個群有一個單位表示（所有群元素映為實數 1），這顯然是一個不可約表示。舒爾正交關係馬上給出

對，此式對任何不等於單位表示的不可約表示成立。

例子

三個對象的 3! 個置換組成一個 6 階群，通常記作（對稱群）。這個群同構於點群，由三重旋轉軸以及三個鉛直鏡面平面組成。這個群有一個二維不可約表示（l = 2）。在情形，通常將這個不可約表示利用楊氏表（楊氏矩陣）記作而在情形通常寫成 。在兩種情形不可約表示都由如下六個實矩陣組成，每個代表一個群元素

元素 (1,1) 的正規化為：

同樣可以證明其它矩陣元素 (2,2)、(1,2) 與 (2,1) 的正規化。元素 (1,1) 與 (2,2) 的正交性：

類似的關係對元素 (1,1) 與 (1,2) 的正交性成立，如是等等。容易驗證此例中所有對應矩陣元素之和為零，因為給定表示與恆等表示的正交性。

直接推論

矩陣的跡是對角矩陣元素之和，

所有跡的集合是一個表示的特徵標。通常將一個不可約表示中矩陣的跡寫成

利用這種記號我們可寫出多個特徵標公式：

這可以用來檢驗一個表示是否是可約的（這些公式說明在任意特徵標表中一行是正交向量）。以及

這幫助我們確認不可約表示在具有特徵標的可約表示中包含的次數。

例如，如果，這個群的階是，則在給定“可約”表示中包含的次數是

緊群

有限群的正交關係推廣為緊群（包含緊李群，比如 SO(3)）本質上是簡單的：只要將在群上的求和換成在群上的積分。每個緊群G 有惟一一個雙不變哈爾測度，使得群的體積是 1。將這個測度記成。設是G的不可約表示的一個完備集合，設是表示的矩陣係數。正交關係可以敘述為兩部分 1) 如果，則：

2)如果是表示空間的一個正交規範基，則：

這裡是的維數。這些正交關係以及所有表示的維數有限是彼得-外爾定理的推論。

有關例子

一個三參數群的例子是矩陣群 SO(3)，有所有 3×3 正交矩陣組成。這個群的一個可能的參數化是利用歐拉角：。界限是以及。

體積元素的計算不僅取決於參數的選取，也取決於最終結果，即加權函式（測度）的解析形式。

例如，SO(3) 的歐拉角參數化給出權重而 n, ψ 參數化給出權重t，其中。

可以證明一個緊李群的不可約表示是有限維的並可選成酉的：

簡記成：

正交關係具有形式：

群的體積是：

我們注意到 SO(3) 的不可約表示是維格納D-矩陣（Wigner D-matrix），它們的維數是，故：

他們滿足：