《自守形式與素數分布》是依託山東大學，由任秀敏擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：自守形式與素數分布
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：任秀敏
- 依託單位：山東大學
中文摘要,結題摘要,
中文摘要
素數分布理論歷來都是數論的核心課題之一，自守形式是當代數論另一個核心課題。本項目的研究內容有兩個：自守形式和素數分布。具體地說，本項目首先研究自守形式，特別注意研究自守L-函式的零點分布以及階的平均增長。其次，本項目把自守形式的研究成果用於素數分布，解決Sarnak猜想的一些重要特例，例如研究一般的Diophantus方程的素數解。一般的Diophantus方程，可能含有交叉項。
結題摘要
素數分布理論是經典解析數論研究的中心問題，自守L-函式理論則是當代數論研究的中心問題。本項目旨在研究自守L-函式理論並利用自守L-函式理論探討素數分布的各種性質。在執行過程中，我們重點研究了自守L-函式理論，包括由中心值決定自守L-函式的形式等判定定理，自守L-函式導數的性質，自守L-函式的傅立葉係數的振盪性質等，均得到了新的突破性的結果。關於自守L-函式的傅立葉係數的探討，我們著重研究了傅立葉係數撓乘指數函式形成的指數和估計。在SL（2,Z）的情形，當指數函式的次數在區間（0,1）取值時，所得結果刻畫了傅立葉係數a（n）的平均增長並得到係數a（n）與指數函式的共振性質, 這些結果都是非常深刻的；對於二次指數和估計，我們所得到的結果大大地改進了Pitt等的已有結果。在SL（3,Z）的情形，我們首先研究了自守L-函式的Voronoi求和公式，證明了更精確的漸近估計。以此為工具，我們進一步探討了與自守L-函式的Fourier係數A（m，n）有關的指數和估計，給出了一系列新的結果，這些結果推廣了Miller以及Booker等人在這方面的工作，並從不同側面揭示了A（m，n）的深刻性質，其中包括傅立葉係數的速降性質以及共振性質等。除此之外，本項目還研究了某些代數數域上 L-函式的性質，得到了新的結果。
