《臨界點理論，隱函式定理方法及其套用》是依託中國科學院數學與系統科學研究院，由李翀擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：臨界點理論，隱函式定理方法及其套用
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：李翀
- 依託單位：中國科學院數學與系統科學研究院
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
本項目擬研究非線性分析中一些新問題，具體研究包括：（1）研究Poincare-Hopf定理以及從退化臨界點集到非退化臨界點集的擾動定理（包括Marino-Prodi擾動定理的更一般形式），使得臨界點理論有更好的套用。（2）發展更一般形式的隱函式定理，分裂定理及分支理論。特別是將我們已建立的相關結果套用於非線性問題。（3）研究Fucik 譜及相應泛函的臨界點臨界群計算和跳躍非線性問題。（4）研究基態流形上帶磁場的Poincare不等式。這些理論及套用面臨許多具有挑戰性的問題如區域高維情況下的 Fucik 譜線的基本性質的研究是長期以來人們關注的熱點問題，我們希望利用一些新的思想和方法來研究這些問題。這些基本問題的研究和解決不僅會推動臨界點理論本身的發展，而且從定性和定量兩方面為研究非線性方程解的存在性，多重性以及變號性提供新的工具.
結題摘要
本項目發現一種新的更一般形式的同調環繞，這種環繞本質上利用了Nehari流形的結構, Benci-Rabinowitz廣義鞍點方法只能得到一個環繞結構，而我們的方法在理論上能提供多個環繞結構。更重要的是用同調論我們可以區分得到的臨界點，因此這一方法為尋求多解提供了新途徑。發表了一篇近百頁的長文，率先系統地討論了Schrödinger運算元的Fučík譜線和第四個解的存在性並建立了在R^n中的弱極大值原理，緊嵌入的缺失和本質譜的出現使得解決這一問題十分困難複雜。
