考研高等數學選講

《考研高等數學選講》是本書內容按專題分為11章，選擇的知識點較為全面，內容豐富、新穎，解題方法簡潔、典型，例題的難度適當，可供講授“高等數學”課程的教師參考。

基本介紹

• 書名：考研高等數學選講
• 作者：劉秀君
• ISBN：9787302345831
• 定價：16元
• 出版時間：2013-12-19
• 裝幀：平裝

圖書簡介

本書參照教育部制定的《高等數學課程教學基本要求》、《全國碩士研究生入學統一考試數學考試大綱》及近十年以來的考研數學試題編寫而成. 本書內容按專題分為11章，包括極限的概念和求法，導數與微分的概念和求法，積分的概念和求法，微積分的套用，對分段函式的討論，利用對稱性簡化計算，關於不等式、等式及恆等式的證明方法，關於函式方程的有關問題，無窮級數，與中值有關的問題，綜合題. 在每一章中又分為知識要點、方法綜述、典型例題3個部分.
本書選擇的知識點較為全面，內容豐富、新穎，解題方法簡潔、典型，例題的難度適當，可供講授“高等數學”課程的教師參考，也可以供教師開設選修課使用.建議學時為30學時.

前 言

隨著我國各行各業對人才需求的不斷提高，大學生對考研的熱情也不斷增長，僅以河北科技大學為例，每年報考研究生的學生達到了?80%以上. 數學是大部分專業的必考課程，從大一開始，就受到廣大師生的高度重視.
按照河北科技大學的本科教學計畫，高等數學僅為168學時，線性代數僅為?32?學時，機率論與數理統計僅為?48?學時. 在這些學時內，完成教學基本要求已是非常緊張，對於考研的要求基本上無暇顧及. 因此，在進入考研數學複習階段時，大部分的學生會感到困難較大. 為了給學生搭建一個較好的過渡平台，我們為大二的學生開設了考研高等數學選講（30?學時），為大三的學生開設了考研線性代數選講（30?學時）和考研機率統計選講（30?學時），形成了一個考研數學選修課系列. 自這三門選修課開設以來，選課的學生超過了全校學生的一半以上，為提高學生的考研率起到了積極的作用.
本書參照教育部制定的《高等數學課程教學基本要求》、《全國碩士研究生入學統一考試數學考試大綱》及近十年以來的考研數學試題編寫而成. 針對考研試題中涉及的一些有關高等數學的知識點，在高等數學課程教學基本要求的基礎上作了適當擴展，按專題分為?11?章，在每章中又分為知識要點、方法綜述和典型例題三個部分.
在知識要點部分，對考研大綱的有關內容作了提綱挈領的總結，指出了前後知識點之間的聯繫，有助於開闊學生的思路，提高綜合套用知識的能力，以達到融會貫通的目的.
在方法綜述部分，對有關數學方法作了較為全面的講解，使學生從整體上掌握相關的解法.
在典型例題部分，精選了近年來的部分考研真題，按照題型進行了分類，對各類題型的解法作了系統的總結，使學生能夠很快找到解題思路.
本書選擇擴展的知識點針對性強，例題的難度適當，適合本科和專科理工類大學生在學習高等數學課程時同步使用，可供講授高等數學課程的教師參考，特別適合教師開設選修課使用.
本書由河北科技大學數學系組織編寫，劉秀君教授擔任主編，索秀雲教授和郭彥平教授審閱了全書. 在編寫的過程中，得到了數學系同事們的支持與幫助，在此一併致謝. 由於編者水平所限，書中難免不當之處，敬請讀者批評指正.

編 者
2013年10月

目 錄

第1章 極限的概念和求法 1
1.1 知識要點 1
1.2 方法綜述 1
1.3 典型例題 3
題型1 利用有理運算求極限 3
題型2 利用兩個重要極限求極限 3
題型3 利用等價代換求極限 4
題型4 利用導數的定義求極限 5
題型5 利用洛必達法則求極限 6
題型6 利用極限存在的準則求極限 8
題型7 利用定積分的定義求極限 9
題型8 利用泰勒公式求極限 11
題型9 利用級數求極限 11

第2章 導數與微分的概念和求法 13
2.1 知識要點 13
2.2 方法綜述 13
2.3 典型例題 15
題型1 關於函式可導性的討論 15
題型2 利用定義和性質求函式的導數和微分 16
題型3 複合函式的導數 18
題型4 變限積分函式的求導法 18
題型5 隱函式的導數 19
題型6 由參數方程所確定函式的導數 21
題型7 對數求導法 22

第3章 積分的概念和求法 23
3.1 知識要點 23
3.2 方法綜述 23
3.3 典型例題 26
題型1 不定積分的求法 26
題型2 定積分的求法 29
題型3 二重積分的求法 33
題型4 三重積分的求法 35
題型5 對弧長的曲線積分 36
題型6 對坐標的曲線積分 36
題型7 對面積的曲面積分 38
題型8 對坐標的曲面積分 38

第4章 微積分的套用 40
4.1 知識要點 40
4.2 方法綜述 40
4.3 典型例題 42
題型1 求曲線的切線和法平面 42
題型2 求曲面的切平面與法線 43
題型3 求函式的極值與最值 44
題型4 討論函式的單調性與極值，凹凸性與拐點，求曲線的漸近線 46
題型5 求平面圖形的面積與曲線的弧長，旋轉體的側面積與空間立體的體積 48
題型6 求變力作的功、水壓力及引力 49
題型7 求物體的質心、轉動慣量 51

第5章 對分段函式的討論 53
5.1 知識要點 53
5.2 方法綜述 53
5.3 典型例題 53
題型1 分段函式的極限 53
題型2 分段函式的連續性 54
題型3 分段函式的導數 55
題型4 分段函式的極值與最值 57
題型5 分段函式的積分 58

第6章 利用對稱性簡化計算 60
6.1 知識要點 60
6.2 方法綜述 60
6.3 典型例題 62
題型1 利用對稱性計算偏導數 62
題型2 利用對稱性求函式的極值 63
題型3 利用對稱性討論方程根的個數 65
題型4 利用對稱性計算定積分 65
題型5 利用對稱性計算重積分 65
題型6 利用對稱性計算曲線積分 66
題型7 利用對稱性計算曲面積分 67

第7章 關於不等式、等式及恆等式的證明方法 68
7.1 知識要點 68
7.2 方法綜述 68
7.3 典型例題 69
題型1 利用單調性證明不等式 69
題型2 利用凹凸性證明不等式 71
題型3 利用極值與最值證明不等式 72
題型4 利用微分中值定理證明不等式 73
題型5 利用積分中值定理證明積分不等式 75
題型6 利用介值定理證明等式 77
題型7 利用微分中值定理證明等式 78
題型8 利用積分中值定理證明等式 81
題型9 利用拉格朗日中值定理的推論證明恆等式 81

第8章 關於函式方程的有關問題 84
8.1 知識要點 84
8.2 方法綜述 84
8.3 典型例題 84
題型1 方程根的存在性證明 84
題型2 方程根的個數問題 85
題型3 與極限有關的函式方程 89
題型4 解微分方程 90
題型5 解積分方程 90

第9章 無窮級數 92
9.1 知識要點 92
9.2 方法綜述 92
9.3 典型例題 93
題型1 常數項級數及其收斂性的概念和性質 93
題型2 正項級數收斂性的判定 95
題型3 任意項級數收斂性的判定 96
題型4 冪級數收斂域的求法 99
題型5 求冪級數的和函式及數項級數的和 101
題型6 將函式展為冪級數 103
題型7 將函式展為傅立葉級數 104

第10章 與中值有關的問題 106
10.1 知識要點 106
10.2 方法綜述 106
10.3 典型例題 106
題型1 利用連續函式的介值定理證明中值等式 106
題型2 利用微分中值定理證明中值等式 108
題型3 利用單調性證明中值等式（根的存在唯一性） 110
題型4 利用積分中值定理證明中值等式 110
題型5 利用微分中值定理證明中值不等式 110
題型6 利用微分中值定理和積分中值定理求極限 111

第11章 綜合題 112
11.1 知識要點 112
11.2 典型例題 112

參考文獻 126