羅德里格旋轉公式

羅德里格旋轉公式是計算三維空間中，一個向量繞旋轉軸旋轉給定角度以後得到的新向量的計算公式。這個公式使用原向量，旋轉軸及它們叉積作為標架表示出旋轉以後的向量。可以改寫為矩陣形式，被廣泛套用於空間解析幾何和計算機圖形學領域，成為剛體運動的基本計算公式。

基本介紹

• 中文名：羅德里格旋轉公式
• 外文名：Rodrigues' rotation formula
• 別稱：三維空間中的歐拉羅德里格旋轉公式
• 提出者：班傑明·奧倫德·羅德里格
• 提出時間：1840
• 套用學科：空間解析幾何 計算機圖形學 理論力學
• 適用領域範圍：三維渲染 機器人設計

發現歷程和定義

在向量旋轉公式發現以前，瑞士數學家列昂哈德·歐拉(Leonhard Euler(1707-1783))為了證明四平方和定理，發現了四平方和恆等式。然而這個恆等式的構造過程非常繁瑣。直到後來，四元數被引入，使得這個恆等式的推導大大簡化。

四元數可以很方便地表示旋轉變換。但在很多場合中，使用矩陣形式和向量形式表達旋轉更有利於推導。向量旋轉公式最早由法國數學家班傑明·奧倫德·羅德里格(Benjamin Olinde Rodrigues(1795–1851))導出，後來被套用在很多領域。

設v是一個三維空間向量，k是旋轉軸的單位向量，則v在右手螺旋定則意義下繞旋轉軸k旋轉角度θ得到的向量可以由三個不共面的向量v, k和k×v構成的標架表示：

推導

如果被旋轉向量v與旋轉軸k(k為單位向量)相互垂直，那旋轉變換不難表示。而對於與旋轉軸k呈任意角度的向量v，可以通過正交分解，把被旋轉向量轉化為與旋轉軸平行的分量 和與旋轉軸垂直的分量 ，其中與旋轉軸平行的分量 在旋轉中是不變的，而與旋轉軸垂直的分量 則恰好旋轉了角度θ，把與旋轉軸平行的分量與旋轉以後的與旋轉軸垂直的分量加在一起，即可得到旋轉以後的向量。

第一步是如何對向量v做正交分解：

利用向量投影公式，可以得到 的表達式：

通過做減法，得到

利用外積可以計算與 和k都垂直，且長度等於 的向量w：

旋轉以後的向量可以表示為：

與 相加即可得到旋轉以後的向量表達式：

矩陣形式

在計算機圖形學中，羅德里格向量旋轉公式通常被用來填寫旋轉矩陣。如果把k和v分別寫為列向量：

則旋轉以後的向量可以表示為：

其中

其中E是3階單位矩陣。需要注意的是，公式中的第二項不是點積，而是張量積，得到的是一個3行3列的矩陣。

理論力學中的套用

在理論力學中，旋轉非慣性系中的物體都要受到慣性離心力和科里奧利力的作用。可以用羅德里格向量旋轉公式推導這些力的大小。

設在以角速度ω，繞單位向量k旋轉的慣性系中，物體在 處以速度v運動，則物體在該局部坐標系下的運動方程為：

而在靜止參考系統中，物體的運動方程為：

上式對t求導，可得到物體的絕對速度

再對t求導，得到物體的加速度

在t=0時刻，有

即為物體的加速度。其中為向心加速度，為科氏加速度。根據牛頓第二定律，即可得出慣性離心力和科里奧利力的計算公式。