經典數論的現代導引

內容簡介

經典數論的主要內容既包括整數理論、同餘理論、一次到n次剩餘方程、丟番圖方程、佩爾方程、連分數、原根與指數，也包括費爾馬-歐拉定理、威爾遜-高斯定理、秦九韶定理（中國剩餘定理）、勒讓德符號與二次互反律、表整數為平方和、荷斯泰荷姆定理等.此外，它還伴隨著遐邇聞名的完美數問題、同餘數問題、費爾馬大定理、哥德巴赫猜想、孿生素數猜想、黎曼猜想、歐拉猜想、卡塔蘭猜想、華林問題、3x+1問題、BSD猜想、abc猜想等.本書以一種特殊的方式（每節配以引人入勝的補充讀物）把這些素材串聯起來，再通過引入加乘方程、形素數、平方完美數、默比烏斯函式指數、橢圓曲線等新概念和方法，拓廣了包括希爾伯特第8問題在內的經典數論問題和猜想.與此同時，幾乎每個章節都提出或留有深淺不一的新問題和新猜想.且在第1—5章每章習題後以二維碼形式連結了該章習題參考解答，供讀者查閱.

圖書目錄

序: 數是我們心靈的產物

第1章整除的算法 1

1.1 自然數的來歷 1

完美數與親和數 5

1.2 自然數的奧妙 6

鑲嵌幾何與歐拉示性數 11

1.3 整除的算法 12

梅森素數與費爾馬素數 16

1.4 最大公因數 24

格雷厄姆猜想 27

1.5 算術基本定理 29

希爾伯特第8問題 35

習題1 40

第2章同餘的概念 42

2.1 同餘的概念 42

高斯的《算術研究》 45

2.2 剩餘類和剩餘系 47

函式[x]與3x+1問題 51

2.3 費爾馬-歐拉定理 55

歐拉數和歐拉素數 61

2.4 表分數為循環小數 62

默比烏斯函式 65

2.5 密碼學中的套用 69

廣義歐拉函式 72

習題2 75

第3章同餘式理論 77

3.1 秦九韶定理 77

斐波那契的兔子 80

3.2 威爾遜定理 84

高斯的《算術研究》 90

3.3 丟番圖方程 92

畢達哥拉斯數組 96

3.4 盧卡斯同餘式 98

覆蓋同餘系 103

3.5 素數的真偽 105

素數或合數之鏈 110

習題3 112

第4章平方剩餘 114

4.1 二次同餘式 114

高斯環上的整數 117

4.2 勒讓德符號 120

表整數為平方和 124

4.3 二次互反律 131

n角形數與費爾馬 133

4.4 雅可比符號 135

阿達馬矩陣和猜想 139

4.5 合數模同餘 140

正十七邊形作圖法 143

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