索蒂圓

索蒂圓(Soddy circle)也稱“索迪圓”，是關於多圓相切問題的著名定理，彼此相切的三圓必有兩圓與它們相切，以三個不同點為圓心作三個彼此相切的圓，若兩兩的切點是三個不同的點(可能共線)，則有兩個圓與這三個圓都相切而這兩個圓不相交，這兩個圓稱為索蒂圓。

基本介紹

• 中文名：索蒂圓
• 外文名：Soddy circle
• 別稱：索迪圓
• 所屬學科：數學（平面幾何）
• 簡介：關於多圓相切問題
• 發現者：索迪，笛卡爾
• 分類：內索迪圓，外索迪圓

基本概念

給出△ABC，以頂點A，B，C為圓心，作三個圓兩兩相切，並作與⊙A，⊙B，⊙C都外切的圓⊙S，以及與⊙A，⊙B，⊙C都相內切的圓⊙S'。

⊙S稱為內索迪(Soddy)圓，⊙S'稱為外索迪圓，如圖1。

圖1

圖2

英國的化學家索迪(Frederick Soddy，1877-1958)求出了這些圓的半徑 ，它們是

事實上，這些結果在17世紀已經被笛卡爾發現。

索迪線

內索迪圓圓心S和外索迪圓圓心S'的連線稱為索迪線，由於內心和熱爾崗點也在此直線上，故也把聯結I和熱爾崗點Ge的直線稱為索迪線。它的三線方程是

索迪線上S',I,S和Ge成調和點列，索迪線垂直於熱爾崗線。

相關性質介紹

一個三角形ABC的歐拉線，上面有6個著名的點：垂心H，九點圓圓心N，重心G，外心O，德朗謝姆點Z，以及三角形的外接圓在A，B，C的切線所成三角形的外心。德朗謝姆點與H關於O對稱，是外接圓與斯坦納圓(以N為心，3R/2為半徑)的外相似中心(在斯坦納圓內，一個半徑為R/2的圓沿圓周滾動時，畫出有3個尖點的圓內旋輪線，它是西摩松線的包絡)。

採用通常的記號，以任一三角形ABC的頂點為圓心，s-a，s-b，s-c，或者s，s-c，s-b，或者s-c，s，s-a，或者s-b，s-a，s為半徑所作的3個圓兩兩相切。第一種情況如圖1所示，在其餘的每一種情況，一個圓包住另外兩個，對這3個圓的每一種情況，都可以找到另外兩個圓與它們都相切，稱這兩個圓為三角形的索迪圓，並將它們的圓心與半徑記為

其中σ< σ'，等等，我們將發現這四對圓心落在4條直線上，其中是內心與旁心，而Z是德朗謝姆點。

圖3

圖4 ( 圖3的放大圖)

在4R+r<2s時，第一對索迪圓的位置如圖1，令L為BC中點，X，X' ，M，K為S，S'，I，Z在BC上的射影，容易得到關係

因此

因此I是索迪圓的內相似中心，S與S'在直線IZ上，Z分SS'為比(σ+s):(σ'-s)，並且

容易算出，由此得出SS'的表達式，同時這也順便證明了

(根據O.Bottema給H.S.M.Coxeter 的信，G.R.Veldkamp已經注意到外相似中心是約爾剛點，AM在這裡與自B,C引出的類似的塞瓦線相交)

在4R +r>2s時，類似的計算表明J是內相似中心，Z外分SS'，比為(σ+s):(σ'+s)，並且

對餘下的三對索迪圓，我們必須用旁心代替內心。例如，我們發現是圓心為的索迪圓的外相似中心。在直線上，Z內分比為(s-a-σ):(σ'-s+a)。

圖5表明歐拉線HO與四條“索迪線"SS',,,都過Z點，為了避免圖形的複雜性，我們省掉了直線，雖然它們也是有些趣味的，因為它們是由內切圓與3個旁切圓在BC，CA，AB上的切點所成的4個三角形的歐拉線。

圖5